a: \(3x^3+a\cdot x^2+bx+9\)

\(=3x^3-27x+a\cdot x^2-9a+\left(b+27\right)x+9a+9\)

\(=\left(x^2-9\right)\left(3x+a\right)+x\left(b+27\right)+9a+9\)

Để \(3x^3+a\cdot x^2+b\cdot x+9\) chia hết cho \(x^2-9\) thì b+27=0 và 9a+9=0

=>a=-1 và b=-27

b: \(x^4+a\cdot x^3+bx-1\)

\(=x^4-x^2+a\cdot x^3-a\cdot x+x^2-1+\left(b+a\right)x\)

\(=\left(x^2-1\right)\left(x^2-a\cdot x+1\right)+\left(b+a\right)x\)

Để \(x^4+a\cdot x^3+bx-1\) chia hết cho \(x^2-1\) thì a+b=0

=>b=-a

P(x)⋮Q(x)

=>\(a\cdot x^4+b\cdot x^3+1\) ⋮\(\left(x-1\right)^2\)

=>\(a\cdot x^4-2a\cdot x^3+a\cdot x^2+\left(2a+b\right)x^3-\left(4a+2b\right)x^2+\left(2a+b\right)x+x^2\left(3a+2b\right)\) -x(6a+4b)+3a+2b+x(6a+4b-2a-b)-3a-2b+1⋮\(x^2-2x+1\)

=>6a+4b-2a-b=0 và -3a-2b+1=0

=>4a+3b=0 và -3a-2b=-1

=>4a=-3b và 3a+2b=1

=>\(a=-\frac34b;3a+2b=1\)

=>\(3\cdot\frac{-3}{4}b+2b=1\)

=>\(-\frac14b=1\)

=>b=-4

=>\(a=-\frac34\cdot\left(-4\right)=\frac34\cdot4=3\)

Để \(f\left(x\right)⋮g\left(x\right)\)thì \(f\left(x\right)=g\left(x\right)\cdot q\)( với q là hằng số )

Khi đó ta có pt :

\(x^5-2x^4-6x^3+ax^2+bx+c=\left(x^2-1\right)\left(x-3\right)\cdot q\)

\(\Leftrightarrow x^5-2x^4-6x^3+ax^2+bx+c=\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x-3\right)\cdot q\)

Vì pt trên đúng với mọi x nên :

+) đặt \(x=1\)

\(pt\Leftrightarrow1^5-2\cdot1^4-6\cdot1^3+a\cdot1^2+b\cdot1+c=\left(1-1\right)\left(1+1\right)\left(1-3\right)\cdot q\)

\(\Leftrightarrow-7+a+b+c=0\)

\(\Leftrightarrow a+b+c=7\)(1)

Chứng minh tương tự, lần lượt đặt \(x=-1\)và \(x=3\)ta có các pt :

\(\hept{\begin{cases}3+a-b+c=0\\-81+9a+3b+c=0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a-b+c=-3\\9a+3b+c=81\end{cases}}}\)(2)

Từ (1) và (2) ta có hệ pt 3 ẩn :

\(\hept{\begin{cases}a+b+c=7\\a-b+c=-3\\9a+3b+c=81\end{cases}}\)

Giải hệ ta được \(\hept{\begin{cases}a=8\\b=5\\c=-6\end{cases}}\)

Vậy....

Đặt f(x) = x^4 + ax^3 + bx +b 

xét f(-1)=0 và f(1) =0(vì f(x) chia hết cho a khi f(a) =0)

f(-1) = 1 - a -b + b = 1-a =0

+

f(1) = 1+a+b+b = 1+a+2b = 0

-------------------------------------------

=> 2+2b = 0

=> b= -1

=> 1+a-2 = 0

=> a=1

Lời giải:
Đặt $f(x)=ax^3+bx^2-11x+10$

$x^2+x-2=(x-1)(x+2)$

Do đó để $f(x)\vdots x^2+x-2$ thì $f(x)\vdots x-1$ và $f(x)\vdots x+2$

$\Leftrightarrow f(1)=f(-2)=0$ (theo định lý Bê-du về phép chia đa thức) 

$\Leftrightarrow a+b-1=-8a+4b+32=0$

$\Leftrightarrow a=3; b=-2$ 

=>

P(x) chia hết cho Q(x) = (x - 2)(x + 1)

=> x = 2 và x = -1 là nghiệm của PT P(x) = 0

=>

8 + 4a + 2b + 4 = 0

-1 + a - b + 4 = 0

<=>

4a + 2b = -4

a - b = -3

<=>

a = -5/3

b = 4/3

P(x) chia hết cho Q(x) = (x - 2)(x + 1)

=> x = 2 và x = -1 là nghiệm của PT P(x) = 0

=>

8 + 4a + 2b + 4 = 0

-1 + a - b + 4 = 0

<=>

4a + 2b = -12

a - b = -3

<=>

a = -3

b = 0

Bài trước mình chuyển sai chỗ 4a + 2b = -4