1/ đặt x+y = a

xy=b

Ta có a(a² - 3b) = 19

a(8+b)=2

Dùng phương pháp thế rồi giải tìm được a=1; b=-6

Từ đó ta suy ra x=-2 và y=3 hoặc x=3 và y =-2

2/ ta có 3x² +4 xy + y² = 0 <=> (2x+y)² - x²  = 0 <=> (3x+y)(x+y)=0 từ đó dùng phương pháp thế vào phương trình còn lại là ra

x>1 và y>1

=>x-1>0 và y-1>0

\(M = \frac{1}{x-1} + \frac{1}{y-1} = \frac{(x-1) + (y-1)}{(x-1)(y-1)} = \frac{x + y - 2}{xy - (x + y) + 1}\)

=>\(M - 2 = \frac{x + y - 2}{xy - (x + y) + 1} - 2\)

=>\(M - 2 = \frac{(x + y - 2) - 2[xy - (x + y) + 1]}{(x - 1)(y - 1)}\)

=>\(M - 2 = \frac{3(x + y) - 2xy - 4}{(x - 1)(y - 1)}\)

Theo BĐT Cosi, ta có:

\(x + y \ge 2\sqrt{xy}\)

=>\(3(x + y) - 2xy - 4 \ge 3 \cdot 2\sqrt{xy} - 2xy - 4 = -2xy + 6\sqrt{xy} - 4\)

\(= -2(xy - 3\sqrt{xy} + 2) = -2(\sqrt{xy} - 1)(\sqrt{xy} - 2)\)

Ta có: 1<xy<=4

=>\(1<\sqrt{xy}\le2\)

=>\(\sqrt{xy}-1>0;\sqrt{xy}-2\le0\)

=>\(-2(\sqrt{xy} - 1)(\sqrt{xy} - 2) \ge 0\)

=>\(3(x + y) - 2xy - 4 \ge 0\)

Vì (x-1)(y-1)>0 do x>1 và y>1

nên \(M - 2 = \frac{3(x + y) - 2xy - 4}{(x - 1)(y - 1)} \ge 0 \implies M \ge 2\)

Dấu '=' xảy ra khi \(\begin{cases}x=y\\ xy=4\\ x>1,y>1\end{cases}\iff x=y=2\)

=2/(xy+yz+zx)+2/(x^2+y^2+z^2)+1/xy+yz+zx

>=2(4/(x+y+z)^2)+1/(1/3)>=8+3=11(hình như sai đề nhưng cách làm là đúng rồi)

=2/(xy+yz+zx)+2/(x^2+y^2+z^2)+1/xy+yz+zx

>=2(4/(x+y+z)^2)+1/(1/3)>=8+3=11(hình như sai đề nhưng cách làm là đúng rồi)

\(\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)\left(\frac{x\sqrt{y}-y\sqrt{x}}{\sqrt{xy}}\right)\)

\(=\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right).\frac{x\sqrt{y}-y\sqrt{x}}{\sqrt{xy}}\)

\(=\frac{-y+\sqrt{x}.\sqrt{y}}{\sqrt{y}}.\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)\)

\(=\frac{\left(\sqrt{x}.\sqrt{y}-y\right)\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)}{\sqrt{y}}\)

\(=\frac{xy-y^2}{y}\)

\(=\frac{y\left(x-y\right)}{y}\)

= x - y (đpcm)

câu 1

x^2 -5x +y^2+xy -4y +2014 

=(y^2+xy +1/4x^2) -4(y+1/2x)+4 +3/4x^2-3x+2010

=(y+1/2x-2)^2 +3/4(x^2-4x+4)+2007

=(y+1/2x-2)^2 +3/4(x-2)^2 +2007

GTNN là 2007<=> x=2 và y=1