yêu cầu đề bài đâu mà chứng minh đc. Lầy :I

oh mai gót

à vế phải là /2017 nhé. tks

nhìn nó dài nhưng chỉ cần lập luận vài bước thui 

Điều kiện : \(x_1,x_2,x_3,...,x_{2000}\ne0.\)

Từ (1) suy ra \(2x_1x_2=x_2^2+1>0\Rightarrow x_1\)và    \(x_2\)cùng dấu.

Tương tự ta cũng có:

Từ (2) suy ra \(x_2\)và \(x_3\)cùng dấu 

.....................................................

Từ (1999) suy ra  \(x_{1999}\)và \(x_{2000}\)cùng dấu

Từ (2000) suy ra \(x_{2000}\)và \(x_1\)cùng dấu

Như vậy : các ẩn số \(x_1,x_2,...,x_{2000}\)cùng dấu .

Mặt khác nếu \(\left(x_1,x_2,...,x_{2000}\right)\)là một nghiệm thì \(\left(-x_1,-x_2,...,-x_{2000}\right)\)cũng là nghiệm . Do đó chỉ cần xét \(x_1,x_2,...,x_{2000}>0\).

Khi đó : \(2x_1=x_2+\frac{1}{x_2}\ge2\Rightarrow x_1\ge1\Rightarrow\frac{1}{x_1}\le1\)

              \(2x_2=x_3+\frac{1}{x_3}\ge2\Rightarrow x_2\ge1\Rightarrow\frac{1}{x_2}\le1\)

...............................................................................................

Tương tự , ta có: \(x_{2000}\ge1\Rightarrow\frac{1}{x_{2000}}\le1\)

Suy ra : \(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+...+\frac{1}{x_{2000}}\le x_1+x_2+...+x_{2000}\)

Mặt khác; nếu cộng từng vế 2000 phương trình của hệ , ta có:

\(x_1+x_2+...+x_{2000}=\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+...+\frac{1}{x_{2000}}\)

Dấu '=' xảy ra khi và chỉ khi \(x_1=x_2=...=x_{2000}=1\)

Tóm lại hệ đã cho có 2 nghiệm :

\(\left(x_1,x_2,...,x_{2000}\right)=\left(1;1;...;1\right),\left(-1;-1;...;-1\right).\)

ĐK: \(x,y\ne0\)

\(pt\Leftrightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{3}{2}\)

Do vai trò của x,y như nhau, không mất tính tổng quát, giả sử: \(x\ge y\)

\(\Rightarrow\frac{1}{x}\le\frac{1}{y}\Rightarrow\frac{3}{2}=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\le\frac{2}{y}\)

\(\Rightarrow3y\le4\Rightarrow y=1\)(vì \(y\inℕ^∗\))

Lúc đó thì \(1+\frac{1}{x}=\frac{3}{2}\Rightarrow\frac{1}{x}=\frac{1}{2}\Rightarrow x=2\)(tm)

Vậy có hai cặp số tự nhiên (x;y) thỏa mãn \(\left(1;2\right);\left(2;1\right)\)

Vậy còn x<y thì sao???