Lời giải:

Áp dụng định lý Viete cho pt bậc 2 ta có:

\(\left\{\begin{matrix} x_1+x_2=3\\ x_1x_2=1\end{matrix}\right.\)

Khi đó:

\(A=x_1\sqrt{x_1}+x_2\sqrt{x_2}=(\sqrt{x_1})^3+(\sqrt{x_2})^3\)

\(=(\sqrt{x_1}+\sqrt{x_2})(x_1-\sqrt{x_1x_2}+x_2)\)

\(=\sqrt{(\sqrt{x_1}+\sqrt{x_2})^2}(x_1+x_2-\sqrt{x_1x_2})\)

\(=\sqrt{x_1+x_2+2\sqrt{x_1x_2}}(x_1+x_2-\sqrt{x_1x_2})\)

\(=\sqrt{3+2}(3-1)=2\sqrt{5}\)

∆=9-4=5

x1=(3+√5)/2; x2=(3-√5)/2

4x1=(√5+1)^2; 4x2=(√5-1)^2

4.A=(3+√5)(√5+1)+(3-√5)(√5-1)

=(4√5+3+5)+(4√5-3-5)=8√5

A=2√5

Dùng định lí Viète vào pt cho ta:
\(\left\{{}\begin{matrix}S=x_1+x_2=2\\P=x_1x_2=\dfrac{1}{3}\end{matrix}\right.\)

a) \(A=\left(x_1-1\right)\left(x_2-1\right)=x_1x_2-\left(x_1+x_2\right)+1=-\dfrac{2}{3}\)

b)\(B=x_1\left(x_2-1\right)+x_2\left(x_1-1\right)=2x_1x_2-\left(x_1+x_2\right)=-\dfrac{4}{3}\)

c)\(C=\sqrt{x_1}+\sqrt{x_2}=\sqrt{\left(\sqrt{x_1}+\sqrt{x_2}\right)^2}=\sqrt{x_1+x_2+2\sqrt{x_1x_2}}=\sqrt{2+2\sqrt{\dfrac{1}{3}}}\)

Tới đó hết giải được tiếp :)
d)\(D=x_1\sqrt{x_2}+x_2\sqrt{x_1}=\sqrt{x_1x_2}.\left(\sqrt{x_1}+\sqrt{x_2}\right)\) rồi thế kết quả câu C và biểu thức từ trên.

a: \(\left|x_1-x_2\right|=\sqrt{\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2}\)

\(=\sqrt{\left(\dfrac{1}{2}\right)^2-4\cdot\left(-1\right)}=\sqrt{\dfrac{1}{4}+4}\)

\(=\sqrt{\dfrac{17}{4}}\)

=>\(\left[{}\begin{matrix}x_1-x_2=\dfrac{\sqrt{17}}{2}\\x_1-x_2=-\dfrac{\sqrt{17}}{2}\end{matrix}\right.\)

c,d:Vì pt có hai nghiệm trái dấu

nên chắc chắn hai biểu thức này sẽ không tính được vì sẽ có một căn bậc hai mà biểu thức trong căn âm

Để pt có 2 nghiệm dương pb:

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\Delta=\left(2m+5\right)^2-4\left(2m-1\right)>0\\x_1+x_2=2m+5>0\\x_1x_2=2m-1>0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow m>\frac{1}{2}\)

\(P=\left|\sqrt{x_1}-\sqrt{x_2}\right|\Leftrightarrow P^2=x_1+x_2-2\sqrt{x_1x_2}\)

\(\Rightarrow P^2=2m+5-2\sqrt{2m-1}=2m-1-2\sqrt{2m-1}+1+4\)

\(\Rightarrow P^2=\left(\sqrt{2m-1}-1\right)^2+4\ge4\)

\(\Rightarrow P\ge2\Rightarrow P_{min}=2\) khi \(\sqrt{2m-1}=1\Leftrightarrow m=1\)

Để pt có nghiệm thì \(\Delta'=m^2-4\ge0\Leftrightarrow m^2\ge4\)

Khi đó, ta có: \(x_1+x_2=-2m;\text{ }x_1.x_2=4\)

Ở cả 2 câu a, b; đều cần thêm điều kiện là 2 nghiệm của pt dương

Điều đó xảy ra khi: \(x_1+x_2=-2m>0;\text{ }x_1.x_2=4>0\Leftrightarrow m<0\)

\(a\text{) }\sqrt{x_1}+\sqrt{x_2}=\sqrt{\left(\sqrt{x_1}+\sqrt{x_2}\right)^2}=\sqrt{x_1+x_2+2\sqrt{x_1x_2}}=\sqrt{-2m+2\sqrt{4}}\)

\(b\text{) }\sqrt[4]{x_1}.\sqrt[4]{x_2}=\sqrt[4]{x_1.x_2}=\sqrt[4]{4}\)

bài 1: pt (2) hình như có vấn đề

b) \(x^4-7x^2+6=0\Leftrightarrow x^4-x^2-6x^2+6=0\Leftrightarrow\left(x^2-1\right)\left(x^2-6\right)=0\)

=> x^2-1=0 <=> x=+-1 hoặc x^2-6=0 <=> x=+-6 

bài 2: ĐK: x >0 và x khác 1

\(P=\frac{x^2-\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}+1}-\frac{2x+\sqrt{x}}{\sqrt{x}}+\frac{2\left(x-1\right)}{\sqrt{x}-1}=\frac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x^3}-1\right)}{x+\sqrt{x}+1}-\frac{2\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+1\right)}{\sqrt{x}}+\frac{2\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}{\sqrt{x}-1}\)

\(P=\frac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)\left(x+\sqrt{x}+1\right)}{x+\sqrt{x}+1}-2\left(\sqrt{x}+1\right)+2\left(\sqrt{x}+1\right)=\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)-2\sqrt{x}-2+2\sqrt{x}+2=\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)\)

b)  ví x>0 => \(\sqrt{x}-1>-1\Leftrightarrow\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)>-1\)=> k tìm đc Min

c) \(\frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)}=\frac{2}{\sqrt{x}-1}\)

để biểu thức này nguyên => \(\sqrt{x}-1\inƯ\left(2\right)\Leftrightarrow\sqrt{x}-1\in\left(+-1;+-2\right)\)

=> x thuộc (4;9)

bìa 3: câu này bạn đăng riêng mình làm rồi đó

a/ Bạn tự giải

b/ \(\Delta'=m^2+1>0;\forall m\)

Để biểu thức đề bài xác định \(\Leftrightarrow\) pt có 2 nghiệm không âm

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2\left(m+1\right)>0\\x_1x_2=2m\ge0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow m\ge0\)

\(\sqrt{x_1}+\sqrt{x_2}=\sqrt{2}\Leftrightarrow x_1+x_2+2\sqrt{x_1x_2}=2\)

\(\Leftrightarrow2\left(m+1\right)+2\sqrt{2m}=2\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{2m}=-m\)

Vế trái không âm, vế phải không dương, dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(m=0\)