Với số thức a. ta định nghĩa phần nguyên của số a là số nguyên lớn nhất không vượt quá a kí hiều [a]. Dáy số x₀ ; x₁ ; x₂ ; ...; x_n ; ... được xác định bởi công thức \(x_n=\left[\dfrac{n+1}{\sqrt{2}}\right]-\left[\dfrac{n}{\sqrt{2}}\right]\). Hỏi trong 200 số { x₀ ; x₁ ; x₂ ; ...; x₁₉₉ } có nhiều nhiều số khác 0 ( Biết \(1,41< \sqrt{2}< 1,42\) )

Giả sử phương trình ax^{2 +} bx + c = 0  có 2 nghiệm phân biệt x₁ , x₂. Đặt S_n =x₁ ²  + x₂ ² với n là số nguyên dương.

a) Chứng minh aS_n+2 + bS_n+1 + cS_n = 0.

b) Áp dụng tính giá trị của A= (\(\frac{\left(1+\sqrt{5}\right)^5}{2^5}+\frac{\left(1_{ }-\sqrt{5}\right)^5}{2^5}\)

1. Cho \(\Delta ABC\)đều, trung tuyến AD. Lần lượt lấy M,N trên AB,AC sao cho \(P_{AMN}=\frac{1}{2}P_{ABC}\). Tính \(\widehat{MDN}\)

2. Tính x³ + 18x + 72 với \(x=\sqrt[3]{6\left(\sqrt{19}-4\right)}-\sqrt[3]{12\left(\sqrt{19}+4\right)}\)

3. Cho \(A\left(6;0\right);B\left(0;4\right);C\left(4;0\right);D\left(0;\frac{4}{3}\right)\). M di chuyển trên đoạn AB. Gọi H,K là hình chiếu của M trên OA,OB. Lấy N thuộc đoạn HK sao cho KN = 2NH. Chứng minh N di động trên CD

4. Tìm min \(A=\sqrt{2x^2-2x+5}+\sqrt{2x^2-4x+4}\)

5. Cho phương trình x³ - mx² + nx - p = 0 có 3 nghiệm x₁,x₂,x₃

a) Tìm m,n,p khi x₁ = m, x₂ = n, x₃ = p

b) Xét dấu các nghiệm x₁,x₂,x₃ biết x₁ + x₂ + x₃ ; x₁x₂ + x₂x₃ + x₃x₁ ; x₁x₂x₃ đều dương

a) Giải phương trình : \(\frac{x^2}{\left(x-1\right)^2}+\frac{x^2}{\left(x+1\right)^2}=\frac{10}{9}\)

b) Tìm nghiệm nguyên x thỏa mãn : \(\sqrt{x+2+3\sqrt{2x-5}}+\sqrt{x-2-3\sqrt{2x-5}}=2\sqrt{2}\)

c) Tìm m để phương trình sau vô nghiệm : \(\frac{x+1}{x\left(x-m+1\right)}=\frac{x}{x+m+2}\)

d) Cho phương trình : 2x⁶ + y² - 2x³y - 320 = 0 có nghiệm (x₁; y₁); (x₂; y₂);...; (x_n; y_n). Tính giá trị của biểu thức x₁ + x₂ + ... + x_n.

bài1 cho pt \(x^2-2\left(m-1\right)x+2m^2-3m+1=0\)

a) tìm m để pt có nghiệm

b) gọi x₁ và x₂ là 2 nghiệm pt .Chứng minh |x₁+x₂+x₁.x₂| <= 9/8

bài 2 cho \(x^2-2mx+4=0\)

a) tìm m để pt có 2 nghiệm phân biệt x₁ và x₂ thỏa \(x1^3+6x1^2+4x1=x2^3+6x2^2+4x2\)

bài 3 giả sử pt \(ax^2+bx+c=0\)

có 2 nghiệm x₁ và x₂ đặt S_n=\(x1^n+x2^n\)

(n thuộc N).Chứng minh aS_n+2 +bS_n+1+cS_n=0 với mọi n thuộc N 

Áp dụng tính \(\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^7+\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^7\)

Bài 1: Cho các số thực dương a,b ; a≠b. Chứng minh:

\(\frac{\frac{\left(a-b\right)^3}{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^3}-b\sqrt{b}+2a\sqrt{a}}{a\sqrt{a}-b\sqrt{b}}+\frac{3a+3\sqrt{ab}}{b-a}=0\)

Bài 2: Cho các biểu thức; \(P=\frac{5x-12\sqrt{x}-32}{x-16}\) và \(Q\left(x\right)=x+\sqrt{x}+3\).

a) Tìm số nguyên x₀ sao cho P(x₀) và Q(x₀) là các số nguyên, đồng thời P(x₀) và ước của Q(x₀)

b) Cho \(t=\frac{x}{x^2-x+1}\). Tính giá trị biểu thức \(A=\frac{x^2}{x^4+x^2+1}\) theo t

Bài 3: Cho biểu thức:

\(T=\left(\frac{x+4\sqrt{x}+4}{x+\sqrt{x}-2}+\frac{x+\sqrt{x}}{1-x}\right):\left(\frac{1}{\sqrt{x}+1}-\frac{1}{1-\sqrt{x}}\right)\left(x>0;x\ne1\right)\)

Rút gọn biểu thức T. Có bao nhiêu giá trị của x để \(A\ge\frac{1+\sqrt{2018}}{\sqrt{2018}}\)

Bài 1: Cho biểu thức :

\(A=\frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x}+3}+\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-3}+\frac{3-11\sqrt{x}}{9-x}\left(x\ge0;x\ne9\right)\)

a) Rút gọn A

b) Tìm tất cả các giá trị của x để A ≥ 0

Bài 2:

a) Trong hệ trục tọa độ Oxy cho hai đường thẳng (d₁) : y = (m² -1)x + 2m (m là tham số) và (d₂): y = 3x + 4. Tìm các giá trị của m để 2 đường thẳng song song với nhau.

b) Cho phương trình: x² - 2(m - 1)x + 2m - 5 = 0 (m là tham số). Tìm các giá trị của m để phương trình có 2 nghiệm x₁; x₂ thỏa mãn (x₁² - 2mx₁ + 2m - 1)(x₁ - 2) ≤ 0

Bài 3: Cho 3 số thực x,y,z thỏa mãn: x + y + z ≤ \(\frac{3}{2}\)

Tìm GTNN của biểu thức: \(P=\frac{x\left(yz+1\right)^2}{z^2\left(zx+1\right)}+\frac{y\left(zx+1\right)^2}{x^2\left(xy+1\right)}+\frac{z\left(xy+1\right)^2}{y^2\left(yz+1\right)}\)

Cho các số thực dương x₁, x₂, ..., x_n( ở đó n là số nguyên dương), và đặt 

                                 S= x₁+ x₂+...+x_n

Chứng minh rằng ta có bất đẳng thức sau

    (1+ x₁).(1+x₂)...(1+x_n)<= 1+\(\frac{S}{1!}\)+\(\frac{S}{2!}\)+... +\(\frac{S}{n!}\)