với a bất kì, ta luôn có:

a) a>a-1

b) a<a+2

a) 0 > -1 suy ra a > a - 1

b) 0 < 2 suy ra a < a + 2

Với m<0 và m>0 thì m² > m

Với m=0 thì m²= m

Với 0<m<1 thì m² < m

               \(a^2+b^2+2\ge2\left(a+b\right)\)

\(\Leftrightarrow\)\(a^2+b^2+2-2\left(a+b\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\)\(\left(a^2-2a+1\right)+\left(b^2-2b+1\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\)\(\left(a-1\right)^2+\left(b-1\right)^2\ge0\) luôn đúng

Dấu "=" xảy ra   \(\Leftrightarrow\)\(a=b=1\)

a. Ta có:

\(\left(m+1\right)^2\)\(=m^2+2m+1\)

\(\left(m+1\right)^2\ge4m\Leftrightarrow m^2+2m+1\ge4m\)

\(\Leftrightarrow m^2+2m+1-4m\ge0\)

\(\Leftrightarrow m^2-2m+1\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(m-1\right)^2\ge0\) (đúng \(\forall\) m)

Vậy \(\left(m+1\right)^2\ge4m\)

b. \(m^2+n^2+2\ge2\left(m+n\right)\)

\(\Leftrightarrow m^2+1+n^2+1\ge2m+2n\)

Ta có:

\(\left(m^2+1\right)^2\ge4m^2\) \(\Rightarrow m^2+1\ge2m\)

\(\left(n^2+1\right)^2\ge4n^2\Rightarrow n^2+1\ge2n\)

a ) \(\left(m+1\right)^2\ge4m\)

\(\Leftrightarrow m^2+2m+1\ge4m\)

\(\Leftrightarrow\left(m^2+2m+1\right)-4m\ge0\)

\(\Leftrightarrow m^2-2m+1\ge0\)

\(\Rightarrow\left(m-1\right)^2\ge0\) (luôn đúng) (ĐPCM)

b ) \(m^2+n^2+2\ge2\left(m+n\right)\)

\(\Leftrightarrow m^2+n^2+2-2m-2n\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(m^2-2m+1\right)+\left(n^2-2n+1\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(m-1\right)^2+\left(n-1\right)^2\ge0\)(luôn đúng) |(ĐPCM)

a) giả sử \(a^2+b^2\ge2ab\)

=> \(a^2+b^2-2ab\ge0\)

=> \(\left(a-b\right)^2\ge0\) (luôn đúng với mọi a,b)

vậy điều giả sử là đúng

b) áp dụng BĐT ở phần a ta được \(\frac{a^2+b^2}{2}\ge\frac{2ab}{2}=ab\)

a) Vì, ta có:

\(\left(a-b\right)^2\ge0\Rightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\Rightarrow a^2+b^2\ge2ab\)(dpcm)

b) tu cau a, ta có:

 \(a^2+b^2\ge2ab\Rightarrow\frac{a^2+b^2}{2}\ge ab\)(dpcm)

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a+b.

1 < 2 \(\Rightarrow\)1+m < 2+m

-2 < 3 \(\Rightarrow\)m-2 < 3+m

Do a>0 nên \(\frac{1}{a}>0\)

Apa dụng bất đẳng thức AM-GM cho 2 số dương a và \(\frac{1}{a}\)ta có

\(a+\frac{1}{a}\ge2.\sqrt{\frac{a.1}{a}}=2\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=\frac{1}{a}\Leftrightarrow a^2=1\Leftrightarrow a=1\)( Do a>0 )

Ta có :  \(a+\frac{1}{a}\ge2\)

\(\Leftrightarrow a+\frac{1}{a}-2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\frac{a^2}{a}+\frac{1}{a}-\frac{2a}{a}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\frac{\left(a-1\right)^2}{a}\ge0\)( luôn đúng \(\forall a>0\))

Vậy ...