Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
*Tìm min:
\(P=\dfrac{a}{1-a}+\dfrac{b}{1-b}=\dfrac{1}{1-a}-1+\dfrac{1}{1-b}-1\)
\(\ge\dfrac{4}{\left(1-a\right)+\left(1-b\right)}-2\)
\(=\dfrac{4}{2-\dfrac{1}{2}}-2=\dfrac{2}{3}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=\dfrac{1}{4}\). Do đó minP=2/3
*Tìm max: \(a,b\ge0\)
\(P=\dfrac{a}{1-a}+\dfrac{b}{1-b}=\dfrac{a-ab+b-ab}{\left(1-a\right)\left(1-b\right)}\)
\(=\dfrac{\dfrac{1}{2}-2ab}{1-\left(a+b\right)+ab}=\dfrac{\dfrac{1}{2}-2ab}{\dfrac{1}{2}+ab}=\dfrac{\dfrac{3}{2}-2\left(\dfrac{1}{2}+ab\right)}{\dfrac{1}{2}+ab}\)
\(=\dfrac{\dfrac{3}{2}}{\dfrac{1}{2}+ab}-2\le\dfrac{\dfrac{3}{2}}{\dfrac{1}{2}}-2=1\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left(a;b\right)=\left(0;\dfrac{1}{2}\right),\left(\dfrac{1}{2};0\right)\)
Vậy maxP=1
Ta có : \(\frac{a}{a+1}=\frac{a^2+a-a^2}{a+1}=\frac{a\left(a+1\right)}{a+1}-\frac{a^2}{a+1}=a-\frac{a^2}{a+1}\)
Tương tự và cộng theo vế ta được : \(P=a+b+c-\left(\frac{a^2}{a+1}+\frac{b^2}{b+1}+\frac{c^2}{c+1}\right)\)
\(=1-\left(\frac{a^2}{a+1}+\frac{b^2}{b+1}+\frac{c^2}{c+1}\right)\ge1-\frac{\left(a+b+c\right)^2}{a+b+c+3}=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)Vậy GTNN của P = 3/4 đạt được khi a=b=c=1/3
$a^2+b^2+c^2=3$
$P=ab+bc+ca+3(a+b+c)$
Ta có $(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)$
$\Rightarrow ab+bc+ca=\dfrac{(a+b+c)^2-3}{2}$
Đặt $s=a+b+c$.
Khi đó $P=\dfrac{s^2-3}{2}+3s$ $=\dfrac{s^2+6s-3}{2}$
Mặt khác $s^2\ge a^2+b^2+c^2=3$
$\Rightarrow s\ge\sqrt3$
Và $s^2\le 3(a^2+b^2+c^2)=9$
$\Rightarrow s\le3$
Do đó $\sqrt3\le s\le3$
Vì $\dfrac{s^2+6s-3}{2}$ tăng theo $s$ nên giá trị nhỏ nhất đạt tại
$s=\sqrt3$
Suy ra $P_{\min}=\dfrac{3+6\sqrt3-3}{2}=3\sqrt3$
Dấu bằng khi $ab+bc+ca=0$
$\Leftrightarrow (a,b,c)=(0,0,\sqrt3)$ (thỏa mãn $0<\sqrt3<4$).
$\boxed{P_{\min}=3\sqrt3}$
$a^2+b^2+c^2=3$
$P=ab+bc+ca+3(a+b+c)$
Ta có $(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)$
$\Rightarrow ab+bc+ca=\dfrac{(a+b+c)^2-3}{2}$
Đặt $s=a+b+c$.
Khi đó $P=\dfrac{s^2-3}{2}+3s$ $=\dfrac{s^2+6s-3}{2}$
Mặt khác $s^2\ge a^2+b^2+c^2=3$
$\Rightarrow s\ge\sqrt3$
Và $s^2\le 3(a^2+b^2+c^2)=9$
$\Rightarrow s\le3$
Do đó $\sqrt3\le s\le3$
Vì $\dfrac{s^2+6s-3}{2}$ tăng theo $s$ nên giá trị nhỏ nhất đạt tại
$s=\sqrt3$
Suy ra $P_{\min}=\dfrac{3+6\sqrt3-3}{2}=3\sqrt3$
Dấu bằng khi $ab+bc+ca=0$
$\Leftrightarrow (a,b,c)=(0,0,\sqrt3)$ (thỏa mãn $0<\sqrt3<4$).
$P_{\min}=3\sqrt3$
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có:
\(2P=\left(2a+2\right)\left(2b+1\right)\le\dfrac{\left(2a+2+2b+1\right)^2}{4}=\dfrac{\left[2\left(a+b\right)+3\right]^2}{4}=\dfrac{\left(2.2+3\right)^2}{4}=\dfrac{49}{4}\)\(\Rightarrow P\le\dfrac{49}{8}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}a+b=2\\2a+2=2b+1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=\dfrac{3}{4}\\b=\dfrac{5}{4}\end{matrix}\right.\)
Vậy \(MaxP=\dfrac{49}{8}\), đạt tại \(a=\dfrac{3}{4};b=\dfrac{5}{4}\)
Ta có: \(P=\left(a+1\right)\left(2b+1\right)=2ab+a+2b+1=2ab+b+3=b\left(2a+1\right)+3\ge0.\left(2a+1\right)+3=3\)Dấu "=" xảy ra khi \(a=2;b=0\)
Vậy \(MinP=3\), đạt tại \(a=2;b=0\)