Ta có: \(3a^2+2ab+3b^2=m\left(a+b\right)^2+n\left(a-b\right)^2\)

\(=\left(m+n\right)a^2+2\left(m-n\right)ab+\left(m+n\right)b^2\)

Đồng nhất hệ số ta được \(\hept{\begin{cases}m+n=3\\m-n=1\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}m=2\\n=1\end{cases}}\)

Do đó \(3a^2+2ab+3b^2=2\left(a+b\right)^2+\left(a-b\right)^2\ge2\left(a+b\right)^2\)

Tương tự với mấy cái BĐT còn lại thay vào ta được:

\(P\ge2\sqrt{2}\left(a+b+c\right)\ge2\sqrt{2}\frac{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)^2}{3}=6\sqrt{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi a = b = c =  1.

P/s: Em không chắc đâu ạ!

Ta có: P=∑\(\sqrt{3a^2+2ab+3b^2}\)=∑\(\sqrt{\left(a-b\right)^2+2\left(a+b\right)^2}\ge\) 

∑\(\sqrt{2}\left(a+b\right)\ge\frac{2\sqrt{2}}{3}\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)=6\sqrt{2}\)

sai đề ở căn thứ 3

\(\sqrt{3a^2+2ab+3b^2}+\sqrt{3b^2+2bc+3c^2}+\sqrt{3c^2+2ca+3a^2}\)

giúp mình với ạ =))

Mình đặt biểu thức đó là P

Ta có : \(\sqrt{3a^2+2ab+3b^2}=\sqrt{\left(a-b\right)^2+2\left(a+b\right)^2}\ge\sqrt{2\left(a+b\right)^2}=\sqrt{2}\left(a+b\right)\)

Tương tự ta cũng có :

\(\sqrt{3b^2+2bc+3c^2}\ge\sqrt{2}\left(b+c\right)\) , \(\sqrt{3c^2+2ca+3a^2}\ge\sqrt{2}\left(c+a\right)\)

Suy ra : \(P=\sqrt{3a^2+2ab+3b^2}+\sqrt{3b^2+2bc+3c^2}+\sqrt{3c^2+2ca+3a^2}\)

\(\ge\sqrt{2}\left(a+b\right)+\sqrt{2}\left(b+c\right)+\sqrt{2}\left(c+a\right)\)

\(=2\sqrt{2}\left(a+b+c\right)\)

+ ) Áp dụng bất đẳng thức AM - GM :

\(a+b+c=a+1+b+1+c+1-3\ge2\sqrt{a}+2\sqrt{b}+2\sqrt{c}-3=2.3-3=3\)

Suy ra \(P\ge2\sqrt{2}.3=6\sqrt{2}\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của \(P=6\sqrt{2}\)

Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}=3\\\sqrt{a}=\sqrt{b}=\sqrt{c}=1\\a=b=c\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow a=b=c=1\)

\(P=\sqrt{3a^2+2ab+3b^2}+\sqrt{3b^2+2bc+3c^2}+\sqrt{3c^2+2ab+3b^2}\)

\(=\sqrt{2\left(a+b\right)^2+\left(a-b\right)^2}+\sqrt{2\left(b+c\right)^2+\left(b-c\right)^2}+\sqrt{2\left(c+a\right)^2+\left(c-a\right)^2}\)

\(\ge2\sqrt{2}\left(a+b+c\right)\ge\sqrt{2}\left(2\sqrt{a}+2\sqrt{b}+2\sqrt{c}-3\right)=6\sqrt{2}\)

Vậy GTNN của P là \(6\sqrt{2}\Leftrightarrow a=b=c=1\)

xin lỗi nha MÌNH sai đề ở chổ \(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}=3\)

???????????????loằng ngoằng quá. Tui không hỉu cái GTNN

GTNN là tắt của giá trị nhỏ nhất, 

Trong bài này bạn biến đổi sao cho biểu thức \(P\ge a\)   (số a là số biết trước) 

VD: Bạn đưa về dạng nào đó của biểu thức mà nó luôn lớn hơn hoặc bằng \(\dfrac{1}{3}\) Bạn có thể viết \(P\ge\dfrac{1}{3}\) thì GTNN của \(P=\dfrac{1}{3}\)  hay \(minP=\dfrac{1}{3}\)

Tìm được GTNN rồi thì bạn tìm ẩn để dấu "=" xảy ra, nghĩa là để BĐT xảy ra dấu =, lúc đó biểu thức P đạt giá trị nhỏ nhất,

 VD như: \(minP=\dfrac{1}{3}\) <=> Dấu = xảy ra

                                  <=> x = b (x là ẩn và b là biết trước)

Ở một số bài có thể cho điều kiện của ẩn.