a. \(y'\left(x_0\right)=-2x_0+3\)

b. phương trình tiếp tuyến tại x0 =2 là 

\(y=y'\left(x_0\right)\left(x-x_0\right)+y_0=-\left(x-2\right)+0\text{ hay }y=-x+2\)

c.\(y_0=0\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x_0=1\\x_0=2\end{cases}\Rightarrow PTTT\orbr{\begin{cases}y=x-1\\y=-x+2\end{cases}}}\)

d. vì tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng có hệ số góc bằng 1 nên tiếp tuyến có hệ số góc = -1 

hay \(-2x_0+3=-1\Leftrightarrow x_0=2\Rightarrow PTTT:y=-x+2\)

a: \(y=-x^2+3x-2\)

=>\(y'=-\left(2x\right)+3\cdot1\)

=>y'=-2x+3

=>\(f'\left(x_0\right)=-2\cdot x_0+3\)

b: \(f'\left(2\right)=-2\cdot2+3=-4+3=-1\)

\(f\left(2\right)=-2^2+3\cdot2-2=0\)

Phương trình tiếp tuyến của (P) tại điểm có hoành độ x=2 là:

\(y-f\left(2\right)=f'\left(2\right)\left(x-2\right)\)

=>\(y-0=-1\left(x-2\right)=-x+2\)

=>y=-x+2

c: Đặt y=0

=>\(-x^2+3x-2=0\)

=>\(x^2-3x+2=0\)

=>(x-2)(x-1)=0

=>\(\left[{}\begin{matrix}x-2=0\\x-1=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=2\\x=1\end{matrix}\right.\)

TH1: x=2

\(f'\left(2\right)=-2\cdot2+3=-1;f\left(2\right)=-2^2+3\cdot2-2=0\)

Phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x=2 là:

y-f(2)=f'(2)(x-2)

=>y-0=-1(x-2)

=>y=-x+2

TH2: x=1

\(f'\left(1\right)=-2\cdot1+3=1\)

f(1)=0

Phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x=1 là:

y-f(1)=f'(1)(x-1)

=>y-0=1(x-1)

=>y=x-1

d: Gọi phương trình tiếp tuyến cần tìm là (d): y=ax+b(a<>0)

Vì (d) vuông góc với y=x+3 nên a*1=-1

=>a=-1

=>y=-x+b

=>f'(x)=-1

=>-2x+3=-1

=>-2x=-4

=>x=2

f(2)=-2^2+3*2-2=0

f'(2)=-1

Phương trình tiếp tuyến là:

y-f(2)=f'(2)(x-2)

=>y-0=-1(x-2)

=>y=-x+2

\(y'=\dfrac{\left(5x-1\right)'\left(x+2\right)-\left(5x-1\right)\cdot\left(x+2\right)'}{\left(x+2\right)^2}\)

\(=\dfrac{5\left(x+2\right)-5x+1}{\left(x+2\right)^2}=\dfrac{5x+10-5x+1}{\left(x+2\right)^2}=\dfrac{11}{\left(x+2\right)^2}\)

\(f\left(-1\right)=\dfrac{-5-1}{-1+2}=-6\)

f'(-1)=11/(-1+2)^2=11

Phương trình tiếp tuyến tại M(-1;-6) là:

y=11(x+1)+(-6)=11x+11-6=11x+5

Ta có:

 \(y'=\left(-2x^2\right)'=-4x\Rightarrow y'\left(-1\right)=-4\cdot\left(-1\right)=4\)

\(y_0=-2\cdot\left(-1\right)^2=-2\)

Phương trình tiếp tuyến là: \(y=4\left(x+1\right)-2=4x+2\)

hello các bạn

Với \({x_0}\) bất kì, ta có:

\(f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{ - {x^2} + 4x + x_0^2 - 4{x_0}}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{ - \left( {{x^2} - x_0^2} \right) + 4\left( {x - {x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{\left( {x - {x_0}} \right)\left( { - x - {x_0} + 4} \right)}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left( { - x - {x_0} + 4} \right) =  - 2{x_0} + 4\)

Vậy hàm số \(y =  - {x^2} + 4x\) có đạo hàm là hàm số \(y' =  - 2x + 4\)

a) Ta có \(y'\left( 1 \right) =  - 2.1 + 4 = 2\)

Ngoài ra , \(f\left( 1 \right) = 3\) nên phương trình tiếp tuyến cần tìm là:

\(y - 3 = 2\left( {x - 1} \right)\) hay \(y = 2x + 1\)

b) Ta có \({y_0} = 0\) nên \( - x_0^2 + 4{x_0} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_0} = 0\\{x_0} = 4\end{array} \right.\)

+) \({x_0} = 0,{y_0} = 0\) nên \(y'\left( 0 \right) = 4\) do đó phương trình tiếp tuyến cần tìm là \(y = 4x\)

+) \({x_0} = 4,{y_0} = 0\) nên \(y'\left( 4 \right) =  - 4\) do đó phương trình tiếp tuyến cần tìm là

\(y =  - 4\left( {x - 4} \right)\) hay \(y =  - 4x + 16\)

Ta có: \(y'\left(\dfrac{1}{2}\right)=2\cdot\dfrac{1}{2}=1\)

Vậy hệ số góc của tiếp tuyến của parabol \(y=x^2\) tại điểm có hoàng độ \(x_0=\dfrac{1}{2}\) là k = 1.

Bài 2:

a: \(y=x^3+x-3\)

=>y'=\(3x^2+1\)

\(f\left(-1\right)=\left(-1\right)^3+\left(-1\right)-3=-1-1-3=-5\)

f'(-1)=\(3\cdot\left(-1\right)^2+1=4\)

Phương trình tiếp tuyến tại x=-1 là:

y-f(-1)=f'(-1)(x+1)

=>y-(-5)=4(x+1)=4x+4

=>y+5=4x+4

=>y=4x-1

b: \(y=x^3-3x^2\)

=>y'=\(3x^2-3\cdot2x=3x^2-6x\)

Đặt y=-4

=>\(x^3-3x^2=-4\)

=>\(x^3-3x^2+4=0\)

=>(x+1)(x^2-4x+4)=0

=>x=-1 hoặc x=2

TH1: x=-1

y'(-1)=\(3\cdot\left(-1\right)^2-6\cdot\left(-1\right)=3+6=9\)

Phương trình tiếp tuyến tại x=-1 là:

y-f(-1)=f'(-1)(x+1)

=>y-(-4)=9(x+1)=9x+9

=>y=9x+9-4=9x+5

TH2: x=2

=>y'(2)=\(3\cdot2^2-6\cdot2=0\)

Phương trình tiếp tuyến tại x=2 là:

y-f(2)=f'(2)(x-2)

=>y-(-4)=0(x-2)

=>y=-4

c: \(y=\frac{x-3}{2x+1}\)

=>y'=\(\frac{\left(x-3\right)^{\prime}\left(2x+1\right)-\left(x-3\right)\left(2x+1\right)^{\prime}}{\left(2x+1\right)^2}=\frac{2x+1-2\left(x-3\right)}{\left(2x+1\right)^2}=\frac{7}{\left(2x+1\right)^2}\)

\(f\left(-1\right)=\frac{-1-3}{2\cdot\left(-1\right)+1}=\frac{-4}{-2+1}=\frac{-4}{-1}=4\)

f'(-1)=\(\frac{7}{\left\lbrack2\cdot\left(-1\right)+1\right\rbrack^2}=7\)

Phương trình tiếp tuyến tại x=-1 là:

y-f(-1)=f'(-1)(x+1)

=>y-4=7(x+1)=7x+7

=>y=7x+11

Bài 3:

a: \(y=\frac13x^3-2x^2+3x+1\)

=>y'=\(\frac13\cdot3x^2-2\cdot2x+3=x^2-4x+3\)

Gọi (d) là phương trình tiếp tuyến

(d)//y=-3/4

=>\(x^2-4x+3=-\frac34\)

=>\(x^2-4x+4=1-\frac34=\frac14\)

=>\(\left(x-2\right)^2=\frac14\)

=>\(\left[\begin{array}{l}x-2=\frac12\\ x-2=-\frac12\end{array}\right.\Rightarrow\left[\begin{array}{l}x=\frac52\\ x=\frac32\end{array}\right.\)

TH1: x=5/2

\(f\left(\frac52\right)=\frac13\cdot\left(\frac52\right)^3-2\cdot\left(\frac52\right)^2+3\cdot\frac52+1=\frac13\cdot\frac{125}{8}-2\cdot\frac{25}{4}+\frac{15}{2}+1=\frac{125}{24}-\frac{25}{2}+\frac{15}{2}+1\)

\(=\frac{125}{24}-5+1=\frac{125}{24}-4=\frac{125-96}{24}=\frac{29}{24}\)

Phương trình tiếp tuyến tại x=5/2 là:

y-f(5/2)=f'(5/2)(x-5/2)

=>y-29/24=-3/4(x-5/2)

=>\(y-\frac{29}{24}=-\frac34x+\frac{15}{8}\)

=>\(y=-\frac34x+\frac{15}{8}+\frac{29}{24}=\frac{-3}{4}x+\frac{74}{24}=-\frac34x+\frac{37}{12}\)

TH2: x=3/2

\(f\left(\frac32\right)=\frac13\cdot\left(\frac32\right)^3-2\cdot\left(\frac32\right)^2+3\cdot\frac32+1=\frac13\cdot\frac{27}{8}-2\cdot\frac94+\frac92+1=\frac98+1=\frac{17}{8}\)

Phương trình tiếp tuyến tại x=3/2 là:

y-f(3/2)=f'(3/2)(x-3/2)

=>y-17/8=-3/4(x-3/2)=-3/4x+9/8

=>\(y=-\frac34x+\frac98+\frac{17}{8}=-\frac34x+\frac{26}{8}=-\frac34x+\frac{13}{4}\)