1: A(-1;1); B(1;3); C(1;-1)

Gọi tâm là I(x;y)

=>IA=IB=IC

=>\(IA^2=IB^2=IC^2\)

A(-1;1); I(x;y); B(1;3); C(1;-1)

\(IA^2=\left(x+1\right)^2+\left(y-1\right)^2\)

\(IB^2=\left(1-x\right)^2+\left(3-y\right)^2=\left(x-1\right)^2+\left(y-3\right)^2\)

\(IC^2=\left(1-x\right)^2+\left(-1-y\right)^2=\left(x-1\right)^2+\left(y+1\right)^2\)

Ta có: \(IA^2=IB^2=IC^2\)

=>\(\begin{cases}\left(x+1\right)^2+\left(y-1\right)^2=\left(x-1\right)^2+\left(y-3\right)^2\\ \left(x-1\right)^2+\left(y-3\right)^2=\left(x-1\right)^2+\left(y+1\right)^2\end{cases}\)

=>\(\begin{cases}x^2+2x+1+y^2-2y+1=x^2-2x+1+y^2-6y+9\\ x^2-2x+1+y^2-6y+9=x^2-2x+1+y^2+2y+1\end{cases}\)

=>2x-2y+2=-2x-6y+10 và -2x-6y+10=-2x+2y+2

=>x-y+1=-x-3y+5 và -x-3y+5=-x+y+1

=>x+x-y+3y=5-1 và -x-3y+x-y=1-5

=>2x-2y=4 và -4y=-4

=>y=1 và x-y=2

=>y=1 và x=y+2=1+2=3

=>I(3;1)

I(3;1); A(-1;1)

\(R^2=IA^2=\left(-1-3\right)^2+\left(1-1\right)^2=16\)

Phương trình đường tròn ngoại tiếp ΔABC là:

\(\left(x-3\right)^2+\left(y-1\right)^2=IA^2=16\)

2: \(R=IM=\sqrt{\left(2+2\right)^2+\left(-3-3\right)^2}=\sqrt{4^2+\left(-6\right)^2}=\sqrt{52}=2\sqrt{13}\)

Phương trình đường tròn tâm I là:

\(\left(x+2\right)^2+\left(y-3\right)^2=IM^2=52\)

1.

Trục Ox có pt \(y=0\) nên đường song song với nó là \(y=4\)

2.

\(\overrightarrow{MI}=\left(1;-2\right)\)

Đường thẳng tiếp xúc với đường tròn tâm I tại M đi qua M và vuông góc MI nên nhận \(\overrightarrow{MI}\) là 1 vtpt

Phương trình:

\(1\left(x-1\right)-2\left(y-3\right)=0\Leftrightarrow x-2y+5=0\)

a) Phương trình đường tròn \(\left( C \right)\) là: \({\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y - 5} \right)^2} = 49\).

b) Bán kính đường tròn là: \(R = IA = \sqrt {{{\left( { - 2 - 1} \right)}^2} + {{\left( {2 - \left( { - 2} \right)} \right)}^2}}  = 5\)

Phương trình đường tròn là: \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 25\)

c) Gọi \(I\left( {a;b} \right)\) là trung điểm AB. Vậy tọa độ điểm I là: \(I\left( { - 2;1} \right)\)

Bán kính đường tròn là: \[R = IA = \sqrt {{{\left( { - 1 + 2} \right)}^2} + {{\left( { - 3 - 1} \right)}^2}}  = \sqrt {17} \]

Phương trình đường tròn là: \({\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 17\)

d) Bán kính đường tròn là: \(R = \frac{{\left| {1 + 2.3 + 3} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2}} }} = 2\sqrt 5 \)

Phương trình đường tròn là: \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 20\)

1.

Gọi \(I\left(x;y\right)\) là tâm đường tròn \(\Rightarrow\overrightarrow{AI}=\left(x-1;y-3\right)\)

Do đường tròn tiếp xúc với \(d_1;d_2\) nên:

\(d\left(I;d_1\right)=d\left(I;d_2\right)\Rightarrow\dfrac{\left|5x+y-3\right|}{\sqrt{26}}=\dfrac{\left|2x-7y+1\right|}{\sqrt{53}}\)

Chà, đề đúng ko em nhỉ, thế này thì vẫn làm được nhưng rõ ràng nhìn 2 cái mẫu kia thì số liệu sẽ xấu 1 cách vô lý.

2.

Phương trình đường thẳng kia là gì nhỉ? \(2x+y=0\) à?

Câu 2: Dạ vâng anh!

Do tâm (C) thuộc \(\Delta\) nên có dạng: \(I\left(-2a-3;a\right)\)

\(d\left(I;d\right)=R\Leftrightarrow\dfrac{\left|-2a-3-a+1\right|}{\sqrt{1^2+\left(-1\right)^2}}=\sqrt{2}\)

\(\Leftrightarrow\left|3a+2\right|=2\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}a=0\\a=-\dfrac{4}{3}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}I\left(-3;0\right)\\I\left(-\dfrac{1}{3};-\dfrac{4}{3}\right)\end{matrix}\right.\)

Có 2 đường tròn thỏa mãn: \(\left[{}\begin{matrix}\left(x+3\right)^2+y^2=2\\\left(x+\dfrac{1}{3}\right)^2+\left(y+\dfrac{4}{3}\right)^2=2\end{matrix}\right.\)

Gọi d là đường thẳng qua M và vuông góc \(\Delta_1\)

\(\Rightarrow d\) nhận (2;1) là 1 vtpt

Phương trình d:

\(2\left(x-1\right)+1\left(y-2\right)=0\Leftrightarrow2x+y-4=0\)

(C) tiếp xúc \(\Delta_1\) tại M \(\Rightarrow\) tâm I của (C) nằm trên d

\(\Rightarrow I\) là giao điểm d và \(\Delta_2\Rightarrow\) tọa độ I là nghiệm:

\(\left\{{}\begin{matrix}2x+y-4=0\\x-5y-5=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow I\left(\dfrac{25}{11};-\dfrac{6}{11}\right)\)

\(\Rightarrow\overrightarrow{IM}=\left(-\dfrac{14}{11};\dfrac{28}{11}\right)\Rightarrow R^2=IM^2=\left(-\dfrac{14}{11}\right)^2+\left(\dfrac{28}{11}\right)^2=\dfrac{980}{121}\)

Phương trình (C):
\(\left(x-\dfrac{25}{11}\right)^2+\left(y+\dfrac{6}{11}\right)^2=\dfrac{980}{121}\)

Gọi \(I\left(5y+5;y\right)\) \(\Rightarrow\overrightarrow{MI}=\left(5y+4;y-2\right)\)

Ta có \(\Delta_1:x-2y+3=0\) có VTPT là \(\vec{n}=\left(1;-2\right)\) nên nó có VTCP là \(\vec{u}=\left(2;1\right)\).

Do đường tròn tâm \(I\) tiếp xúc với \(\Delta_1\) nên \(\overrightarrow{MI}\perp\overrightarrow{u}\)

\(\Rightarrow\overrightarrow{MI}.\overrightarrow{u}=0\Rightarrow2\left(5y+4\right)+1\left(y-2\right)=0\) \(\Rightarrow y=-\dfrac{6}{11}\)

\(\Rightarrow I\left(\dfrac{25}{11};-\dfrac{6}{11}\right)\Rightarrow IM=\dfrac{14\sqrt{5}}{11}\)

Ta có PT đường tròn: \(\left(x-\dfrac{2}{11}\right)^2+\left(y+\dfrac{6}{11}\right)^2=\dfrac{980}{121}\)

a) (C) có tâm I và đi qua M nên bán kính R = IM

Ta có: 

Vậy đường tròn (C) : (x + 2)2 + (y – 3)2 = 52.

b) (C) tiếp xúc với (Δ) : x – 2y + 7 = 0

⇒ d(I; Δ) = R

Mà 

Vậy đường tròn (C) : 

c) (C) có đường kính AB nên (C) có :

+ tâm I là trung điểm của AB

Vậy đường tròn (C) : (x – 4)2 + (y – 3)2 = 13.