M là trung điểm của BC

=>\(\left\{{}\begin{matrix}x_B+x_C=2\cdot x_M=2\cdot2=4\\y_B+y_C=2\cdot y_M=2\cdot3=6\end{matrix}\right.\)(1)

N là trung điểm của AC

=>\(\left\{{}\begin{matrix}x_A+x_C=2\cdot x_N=2\cdot4=8\\y_A+y_C=2\cdot y_N=2\cdot\left(-1\right)=-2\end{matrix}\right.\left(2\right)\)

P là trung điểm của AB

=>\(\left\{{}\begin{matrix}x_A+x_B=2\cdot x_P=2\cdot\left(-3\right)=-6\\y_A+y_B=2\cdot y_P=2\cdot5=10\end{matrix}\right.\)(3)

Từ (1),(2),(3) ta có hệ phương trình:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_B+x_C=4\\x_A+x_C=8\\x_A+x_B=-6\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_B=4-x_C\\x_A=8-x_C\\4-x_C+8-x_C=-6\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}12-2x_C=-6\\x_B=4-x_C\\x_A=8-x_C\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_C=9\\x_B=4-9=-5\\x_A=8-9=-1\end{matrix}\right.\)

Từ (1),(2),(3) ta có hệ phương trình:

\(\left\{{}\begin{matrix}y_B+y_C=6\\y_A+y_C=-2\\y_A+y_B=10\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y_B=6-y_C\\y_A=-2-y_C\\6-y_C-2-y_C=10\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}4-2\cdot y_C=10\\y_B=6-y_C\\y_A=-2-y_C\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y_C=-3\\y_B=6+3=9\\y_A=-2+3=1\end{matrix}\right.\)

Vậy: C(9;-3); B(-5;9); A(-1;1)

Gọi (d1): ax+by+c=0 là phương trình đường thẳng AB

A(-1;1); B(-5;9)

\(\overrightarrow{AB}=\left(-4;8\right)=\left(-1;2\right)\)

=>VTPT là (2;1)

Phương trình AB là:

2[x-(-1)]+1(y-1)=0

=>2(x+1)+1(y-1)=0

=>2x+2+y-1=0

=>2x+y+1=0

Gọi (d2): ax+by+c=0 là phương trình đường thẳng AC

A(-1;1); C(9;-3)

\(\overrightarrow{AC}=\left(10;-4\right)=\left(5;-2\right)\)

=>VTPT là (2;5)

Phương trình AC là:

2(x+1)+5(y-1)=0

=>2x+2+5y-5=0

=>2x+5y-3=0

Gọi (d3): ax+by+c=0 là phương trình đường thẳng BC

B(-5;9); C(9;-3)

\(\overrightarrow{BC}=\left(14;-12\right)=\left(7;-6\right)\)

=>VTPT là (6;7)

Phương trình đường thẳng CB là:

6(x+5)+7(y-9)=0

=>6x+30+7y-63=0

=>6x+7y-33=0

\(\overrightarrow{BC}=\left(7;-6\right)\)

=>VTPT là (6;7)

mà trung điểm của BC là M(2;3)

nên Phương trình đường trung trực của BC là:

\(6\left(x-2\right)+7\left(y-3\right)=0\)

=>6x-12+7y-21=0

=>6x+7y-33=0

C(9;-3); B(-5;9); A(-1;1)

\(\overrightarrow{AC}=\left(10;-4\right)=\left(5;-2\right)\)

=>VTPT là (2;5)

Phương trình đường trung trực của AC là:

\(2\left(x-4\right)+5\left(y+1\right)=0\)

=>2x-8+5y+5=0

=>2x+5y-3=0

\(\overrightarrow{AB}=\left(-4;8\right)=\left(-1;2\right)\)

=>VTPT là (2;1)

Phương trình trung trực của AB là:

\(2\left(x+3\right)+1\left(y-5\right)=0\)

=>2x+6+y-5=0

=>2x+y+1=0

A B C P N M

Do M, N, P theo thứ tự là trung điểm của BC, CA và AB nên AB//MN, BC//NP và CA//PM

Từ đó đường thẳng AB đi qua P và nhận vec tơ \(\overrightarrow{MN}=\left(-7;1\right)\) làm vec tơ chỉ phương suy ra AB nhận vec tơ \(\overrightarrow{c}=\left(1;7\right)\) làm vec tơ pháp tuyến.

Vậy AB có phương trình tổng quát \(1.\left(x-3\right)+7.\left(y-2\right)=0\) hay \(x+7y-17=0\)

Tương tự, ta được BC : \(3x-4y-10=0\) và CA : \(4x+3y+7=0\)

Theo đề, ta có:

xB+xC=-2 và xA+xC=2 và xA+xB=18

=>xA=11; xB=7; xC=-9

Theo đề, ta có: 

yB+yC=-2 và yC+yA=18 và yA+yB=2

=>yA=11; yB=-9; yC=7

=>A(11;11); B(7;-9); C(-9;7)

*PTTQ của AB

vecto AB=(-4;-20)=(1;5)

=>VTPT là (-5;1)

PT của AB là -5(x-7)+1(y+9)=0

=>-5x+35+y+9=0

=>-5x+y+44=0

*PT của AC

vecto AC=(-20;-4)=(5;1)

=>VTPT là (-1;5)

PT của AC là -1(x+9)+5(y-7)=0

=>-x-9+5y-35=0

=>-x+5y-44=0

*PT của BC

vecto BC=(-16;16)=(-1;1)

=>VTPT là (1;1)

Phương trình BC là:

1(x+9)+1(y-7)=0

=>x+y+2=0

M là trung điểm của AB

=>\(\left\{{}\begin{matrix}x_A+x_B=2\cdot x_M=-2\\y_A+y_B=2\cdot y_M=-2\end{matrix}\right.\)(1)

N là trung điểm của BC

=>\(\left\{{}\begin{matrix}x_B+x_C=2\cdot x_N=2\\y_B+y_C=2\cdot y_N=2\cdot9=18\end{matrix}\right.\)(2)

P là trung điểm của AC

=>\(\left\{{}\begin{matrix}x_A+x_C=2\cdot9=18\\y_A+y_C=2\cdot1=2\end{matrix}\right.\)(3)

Từ (1),(2),(3) ta có hệ phương trình sau:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_A+x_B=-2\\x_B+x_C=2\\x_C+x_A=18\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_A=-2-x_B\\x_C=2-x_B\\-2-x_B+2-x_B=18\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}-2x_B=18\\x_A=-2-x_B\\x_C=2-x_B\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_B=-9\\x_A=-2-\left(-9\right)=7\\x_C=2-\left(-9\right)=11\end{matrix}\right.\)

Từ (1),(2),(3) ta có hệ phương trình:

\(\left\{{}\begin{matrix}y_A+y_B=-2\\y_B+y_C=18\\y_A+y_C=2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y_A=-2-y_B\\y_C=18-y_B\\-2-y_B+18-y_B=2\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}-2y_B=2+2-18=4-18=-14\\y_A=-2-y_B\\y_C=18-y_B\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}y_B=7\\y_A=-2-7=-9\\y_C=18-7=11\end{matrix}\right.\)

vậy: A(7;-9); B(-9;7)

\(\overrightarrow{AB}=\left(-16;16\right)\)

=>VTPT là (16;16)=(1;1)

Phương trình đường thẳng AB là:

\(1\left(x-7\right)+1\left(y+9\right)=0\)

=>x-7+y+9=0

=>x+y+2=0

\(\overrightarrow{NP}=\left(8;-8\right)=8\left(1;-1\right)\)

Do N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA \(\Rightarrow\) NP là đường trung bình tam giác ABC

\(\Rightarrow NP||AB\Rightarrow\) đường thẳng AB nhận \(\left(1;1\right)\) là 1 vecto pháp tuyến

Phương trình AB qua M có dạng:

\(1\left(x+1\right)+1\left(y+1\right)=0\Leftrightarrow x+y+2=0\)

a)  Phương trình đường thẳng AB đi qua 2 điểm A và B là: \(\frac{{x - 1}}{{ - 1 - 1}} = \frac{{y - 3}}{{ - 1 - 3}} \Leftrightarrow \frac{{x - 1}}{{ - 2}} = \frac{{y - 3}}{{ - 4}} \Leftrightarrow 2x - y + 1 = 0\)

 Phương trình đường thẳng AC đi qua 2 điểm A và C là: \(\frac{{x - 1}}{{5 - 1}} = \frac{{y - 3}}{{ - 3 - 3}} \Leftrightarrow \frac{{x - 1}}{4} = \frac{{y - 3}}{{ - 6}} \Leftrightarrow 3x + 2y - 9 = 0\)

 Phương trình đường thẳng BC đi qua 2 điểm B và C là:

\(\frac{{x + 1}}{{5 + 1}} = \frac{{y + 1}}{{ - 3 + 1}} \Leftrightarrow \frac{{x + 1}}{6} = \frac{{y + 1}}{{ - 2}} \Leftrightarrow x + 3y + 4 = 0\)

b)  Gọi d là đường trung trực của cạnh AB.

 Lấy N là trung điểm của AB, suy ra \(N\left( {0;1} \right)\).

 Do \(d \bot AB\) nên ta có vecto pháp tuyến của d là: \(\overrightarrow {{n_d}}  = \left( {1;2} \right)\)

 Vậy phương trình đường thẳng d đi qua N có vecto pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_d}}  = \left( {1;2} \right)\) là:

\(1\left( {x - 0} \right) + 2\left( {y - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow x + 2y - 2 = 0\)

c)  Do AH vuông góc với BC nên vecto pháp tuyến của AH là \(\overrightarrow {{n_{AH}}}  = \left( {3; - 1} \right)\)

 Vậy phương trình đường cao AH đi qua điểm A có vecto pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_{AH}}}  = \left( {3; - 1} \right)\)là: \(3\left( {x - 1} \right) - 1\left( {y - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow 3x - y = 0\)

 Do M là trung điểm BC nên \(M\left( {2; - 2} \right)\). Vậy ta có: \(\overrightarrow {AM}  = \left( {1; - 5} \right) \Rightarrow \overrightarrow {{n_{AM}}}  = \left( {5;1} \right)\)

 Phương trình đường trung tuyến AM đi qua điểm A có vecto pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_{AM}}}  = \left( {5;1} \right)\) là:

\(5\left( {x - 1} \right) + 1\left( {y - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow 5x + y - 8 = 0\)

Đường thẳng AB nhận \(\overrightarrow{n}=\left(1;2\right)\) làm vecto pháp tuyến

AB đi qua A (1; -1) nên nó có phương trình là

x - 1 + 2 (y + 1) = 0 hay x + 2y + 1 = 0

Gọi M là trung điểm của AB ⇒ M ∈ Δ, tọa độ của M có dạng

M (t ; 2t + 1) với t là số thực và \(\overrightarrow{AM}=\left(t-1;2t+2\right)\)

⇒ AM ⊥ Δ 

⇒ \(\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{n}=0\)

⇒ t + 1 + 2. (2t + 2) = 0

⇒ t = -1

Vậy M (- 1; - 1)

M là trung điểm của AB => Tọa độ B

Làm tương tự như thế sẽ suy ra tọa độ C

a: A(3;1); B(1;3); C(3;5)

\(\overrightarrow{AB}=\left(1-3;3-1\right)=\left(-2;2\right)\)

\(\overrightarrow{BC}=\left(3-1;5-3\right)=\left(2;2\right)\)

\(\overrightarrow{AC}=\left(3-3;5-1\right)=\left(0;4\right)\)

b: \(AB=\sqrt{\left(-2\right)^2+2^2}=2\sqrt2\)

\(BC=\sqrt{2^2+2^2}=\sqrt{4+4}=\sqrt8=2\sqrt2\)

\(AC=\sqrt{0^2+4^2}=4\)

Chu vi tam giác ABC là:

\(C_{ABC}=AB+AC+BC=2\sqrt2+2\sqrt2+4=4+4\sqrt2\)

Xét ΔABC có \(BA^2+BC^2=AC^2\)

nên ΔBAC vuông tại B

=>\(S_{BAC}=\frac12\cdot BA\cdot BC=\frac12\cdot2\sqrt2\cdot2\sqrt2=4\)

c:

A(3;1); B(1;3); C(3;5)

Tọa độ trung điểm của AB là:

\(\begin{cases}x=\frac{3+1}{2}=\frac42=2\\ y=\frac{1+3}{2}=\frac42=2\end{cases}\)

Tọa độ trung điểm của AC là:

\(\begin{cases}x=\frac{3+3}{2}=\frac62=3\\ y=\frac{1+5}{2}=\frac62=3\end{cases}\)

Tọa độ trung điểm của BC là:

\(\begin{cases}x=\frac{1+3}{2}=\frac42=2\\ y=\frac{3+5}{2}=\frac82=4\end{cases}\)

Tọa độ trọng tâm G là:

\(\begin{cases}x=\frac{3+1+3}{3}=\frac73\\ y=\frac{1+3+5}{3}=\frac93=3\end{cases}\)

=>G(7/3;3)

ΔBAC vuông tại B

=>ΔBAC nội tiếp đường tròn đường kính AC

=>Tâm đường tròn ngoại tiếp ΔBAC là trung điểm của AC

=>Tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp ΔBAC là M(3;3)

ΔABC vuông tại B

=>B là trực tâm của ΔABC

=>Tọa độ trực tâm của ΔABC là B(1;3)

d: A(3;1);B(1;3)

=>\(\overrightarrow{AB}=\left(1-3;3-1\right)=\left(-2;2\right)=\left(-1;1\right)\)

=>vecto pháp tuyến là (1;1)

Phương trình đường thẳng AB là:

1(x-3)+1(y-1)=0

=>x-3+y-1=0

=>x+y-4=0

A(3;1); C(3;5)

\(\overrightarrow{AC}=\left(3-3;5-1\right)=\left(0;4\right)\)

=>vecto pháp tuyến là (-4;0)

Phương trình đường thẳng AC là:

-4(x-3)+0(y-1)=0

=>-4(x-3)=0

=>x-3=0

=>x=3

B(1;3); C(3;5)

\(\overrightarrow{BC}=\left(3-1;5-3\right)=\left(2;2\right)\)

=>vecto pháp tuyến là (-1;1)

Phương trình BC là:

-1(x-1)+1(y-3)=0

=>-x+1+y-3=0

=>-x+y-2=0

\(\overrightarrow{BC}=\left(2;2\right)\)

=>đường cao AH sẽ đi qua A(3;1) và nhận \(\overrightarrow{BC}=\left(2;2\right)\) làm vecto pháp tuyến

Phương trình AH là:

2(x-3)+2(y-1)=0

=>x-3+y-1=0

=>x+y-4=0

B(1;3); M(3;3)

\(\overrightarrow{BM}=\left(3-1;3-3\right)=\left(2;0\right)\)

=>vecto pháp tuyến là (0;-2)

Phương trình BM là:

0(x-01)+(-2)(y-3)=0

=>-2(y-3)=0

=>y-3=0

=>y=3

e: A(3;1) là trung điểm của NM

=>\(x_{N}+x_{M}=2\cdot3=6;y_{N}+y_{M}=2\cdot1=2\)

B(1;3) là trung điểm của MP

=>\(x_{M}+x_{P}=2\cdot1=2;y_{M}+y_{P}=2\cdot3=6\)

C(3;5) là trung điểm của NP

=>\(x_{N}+x_{P}=2\cdot3=6;y_{N}+y_{P}=2\cdot5=10\)

\(\left(x_{N}+x_{M}\right)-\left(x_{M}+x_{P}\right)=6-2=4\)

=>\(x_{N}-x_{P}=4\)

mà \(x_{N}+x_{P}=6\)

nên \(x_{N}=\frac{4+6}{2}=\frac{10}{2}=5;x_{P}=6-5=1\)

\(x_{M}=2-x_{P}=2-1=1\)

\(\left(y_{N}+y_{M}\right)-\left(y_{M}+y_{P}\right)=2-6\)

=>\(y_{N}-y_{P}=-4\)

mà \(y_{N}+y_{P}=10\)

nên \(y_{N}=\frac{-4+10}{2}=\frac62=3;y_{P}=10-3=7\)

\(y_{M}+y_{P}=6\)

=>\(y_{M}=6-7=-1\)

M(1;-1); N(5;3); P(1;7)

M(1;-1); P(1;7)

=>\(\overrightarrow{MP}=\left(1-1;7+1\right)=\left(0;8\right)\)

=>vecto pháp tuyến là (-8;0)

Phương trình MN là:

-8(x-1)+0(y+1)=0

=>-8(x-1)=0

=>x-1=0

=>x=1

N(5;3); P(1;7)

\(\overrightarrow{NP}=\left(1-5;7-3\right)=\left(-4;4\right)\)

=>vecto pháp tuyến là (1;1)

Phương trình NP là:

1(x-5)+1(y-3)=0

=>x-5+y-3=0

=>x+y-8=0

...