Cho hàm số :

                       \(y=-\dfrac{1}{3}x^3+x^2+m-1\)

a) Chứng minh rằng đồ thị của hàm số đã cho luôn có hai điểm cực trị. Xác định m để một trong những điểm cực trị đó thuộc trục Ox

b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi \(m=\dfrac{1}{3}\)

c) Viết phương trình tiếp tuyến với (C), biết rằng tiếp tuyến đó vuông góc với đường thẳng \(y=\dfrac{1}{3}x-2\)

d) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C), trục hoành và hai đường thẳng \(x=0;x=2\)

Cho hàm số \(y=\dfrac{2}{2-x}\)

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho

b) Tìm các giao điểm của (C) và đồ thị của hàm số \(y=x^2+1\). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại mỗi giao điểm 

c) Tính thể tích vật thể tròn xoay thu được khi quay hình phẳng H giới hạn bởi đồ thị (C) và các đường thẳng \(y=0;x=0;x=1\) xung quanh trục Ox

Cho hàm số 

                          \(y=x^4+ax^2+b\)

a) Tính a, b để hàm số có cực trị bằng \(\dfrac{3}{2}\) khi \(x=1\)

b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho khi \(a=-\dfrac{1}{2};b=1\)

c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại các điểm có tung độ bằng 1

Cho hàm số :

                      \(y=2-\dfrac{2}{x-2}\)

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho

b) Từ (C) vẽ đồ thị của hàm số 

                     \(y=\left|\dfrac{2\left(x-3\right)}{x-2}\right|\)           (1)

Dựa vào đồ thị (1), hãy biện luận theo k số nghiệm của phương trình

                     \(\left|\dfrac{2\left(x-3\right)}{x-2}\right|=\log_2k\)    (2)

c) Tìm các điểm thuộc (C) có tọa độ nguyên ?