O A B C 1 2 D 1 1

a) Xét \(\Delta AOC\) và \(\Delta BOD\) có :

AO = OB ( gt )

\(\widehat{O_1}=\widehat{O_2}\) ( đối đỉnh )

OC = OD ( gt )

=> \(\Delta AOC\) = \(\Delta BOD\) ( c.g.c)

=> AC = BD ( 2 cạnh tương ứng )

b)

=> \(\widehat{C_1}=\widehat{D_1}\) ( hai góc tương ứng )

=> AC // BD

c)

A B C D O M N N'

Kẻ MO cắt BD tại N'

Ta c/m được \(\Delta MOC=\Delta N'OD\left(g.c.g\right)\)(1)

=> N'D = MC

=> N'B = MA

=> N' trùng M

Mặt khác (1) => MO = ON

=> O là tung điểm của MN

Ta có hình vẽ

a/ Xét tam giác AOC và tam giác BOD có

-góc AOC = góc BOD (đối đỉnh)

-AO=OB (vì O là trung điểm của AB)

-CO=OD (Vì O là trung điểm của CD)

Vậy tam giác AOC = tam giác BOD

=> AC = BD (2 cạnh tương ứng)

b/ Xét tam giác AOD và tam giác BOC có

-góc AOD = góc BOC (đối đỉnh)

-AO=OB (vì O là trung điểm của AB)

-CO=OD (Vì O là trung điểm của CD)

Vậy tam giác AOD = tam giác BOC

=> góc DAB = góc ABC

Mà DAB; ABC : so le trong

=> AD//BC

c/ Vì tam giác AOC = tam giác BOD

=> góc OAC = góc OBD (2 góc tương ứng)

Xét tam giác AOM và BON có:

-góc OAC = góc OBD

-AM = BN (GT)

-AO=OB (O là trung điểm của AB)

Vậy tam giác AOM = tam giác BON

=> MO = ON (2 cạnh tương ứng)

Vậy O là trung điểm của MN (đpcm)

Ta có hình vẽ: A B C D O M N

a) Xét Δ AOC và Δ BOD có:

OA = OB (gt)

AOC = BOD (đối đỉnh)

OC = OD (gt)

Do đó, Δ AOC = Δ BOD (c.g.c)

=> AC = BD (2 cạnh tương ứng) (đpcm)

b) Xét Δ AOD và Δ BOC có:

OA = OB (gt)

AOD = BOC (đối đỉnh)

OD = OC (gt)

Do đó, Δ AOD = Δ BOC (c.g.c)

=> góc DAO = góc CBO (2 góc tương ứng)

Mà DAO và CBO là 2 góc so le trong nên AD // BC (đpcm)

c) Ta có: AC = BD (câu a)

AM = BN (gt)

Do đó, AC - AM = BD - BN

=> MC = DN

Δ AOC = Δ BOD (câu a)

=> ACO = BDO (2 góc tương ứng)

Mà ACO và BDO là 2 góc so le trong nên AC // BD

Vì AC // BD nên ACD = CDB (so le trong)

Xét Δ COM và Δ DON có:

OC = OD (gt)

MCO = ODN (cmt)

MC = DN (cmt)

Do đó, Δ COM = Δ DON (c.g.c)

=> COM = DON (2 góc tương ứng)

Có: AOD + AOM + MOC = 180^o

=> AOD + AOM + DON = 180^o

=> MON = 180^o hay 3 điểm M, O, N thẳng hàng (1)

Vì AC // BD nên CAB = ABD (so le trong)

Xét Δ AOM và Δ BON có:

AM = BN (gt)

MAO = OBN (cmt)

OA = OB (gt)

Do đó, Δ AOM = Δ BON (c.g.c)

=> OM = ON (2 cạnh tương ứng) (2)

Từ (1) và (2) => O là trung điểm của MN (đpcm)

Ta có hình vẽ sau:

A C O B D 1 2 3 4 1 1 M N 2 2

a) Xét ΔAOC và ΔBOD ta có:

OA = OB (gt)

\(\widehat{O_1}\) = \(\widehat{O_2}\) ( đối đỉnh)

OC = OD (gt)

\(\Rightarrow\) ΔAOC = ΔBOD ( c-g-c)

Vì ΔAOC = ΔBOD \(\Rightarrow\) AC = BD (2 cạnh tương ứng) (đpcm)

b) Xét ΔAOD và ΔBOC có:

OA = OB (gt)

\(\widehat{O_3}\) = \(\widehat{O_4}\) (đối đỉnh)

OC = OD (gt)

\(\Rightarrow\) ΔAOD = BOC (c-g-c)

\(\Rightarrow\) \(\widehat{A_1}\) = \(\widehat{B_1}\) ( 2 góc tương ứng)

mà 2 góc này lại ở vị trí so le trong

\(\Rightarrow\) AD // BC (đpcm)

c) Ta có ΔAOC = ΔBOD( ý a)

\(\Rightarrow\) \(\widehat{A_2}\) = \(\widehat{B_2}\) ( 2 góc tương ứng)

Xét ΔAOM và ΔBON có:

AM = BN (gt)

\(\widehat{A_2}\) = \(\widehat{B_2}\) (cm trên)

OA = OB (gt)

\(\Rightarrow\) ΔAOM = ΔBON (c-g-c)

\(\Rightarrow\) OM = ON (2 cạnh tương ứng)

\(\Leftrightarrow\) O là trung điểm của MN (đpcm)