Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
xyz = 9 + x + y + z
<=> 1 = 1/yz + 1/xz + 1/xy + 9/xyz
giả sử: x ≥ y ≥ z ≥ 1, ta có:
1 = 1/yz + 1/xz + 1/xy + 9/xyz ≤ 1/z^2 + 1/z^2 + 1/z^2 + 9/z^2 = 12/z^2
=> z^2 ≤ 12 => z = 1, 2 , 3
*z = 1:
1=1/y + 1/x + 1/xy ≤ 1/y + 1/y + 1/y = 3/y
=> y ≤ 3 => y = 1,2,3
y =1 => x= 11 + x (vô nghiệm)
y = 2 => 2x = 12 + x => x = 12 trường hợp nầy nghiệm (12,2,1)
y = 3 => 3x = 13 + x ( không có ngiệm x nguyên)
* z = 2
1 = 1/2y + 1/2x + 1/xy + 1/2xy = 1/2y + 1/2x + 3/2xy ≤ 1/2(1/y + 1/y + 3/y) = .5/2y
=> y ≤ 5/2 => y = 2
=> 4x = 13 + x (không có nghiệm x nguyên)
* z =3:
1 = 1/3y + 1/3x + 1/xy + 3/xy = 1/3y + 1/3x + 4/xy ≤ 1/3(1/y +1/y + 12/y) = 14/3y
=> y ≤ 14/3 => y = 3, 4
y = 3 => 9x = 15 + x (không có nghiệm x nguyên)
y = 4 => 12x = 16 + x (không có nghiệm x nguyên)
Vậy pt có nghiệm là (12,2,1) và các hoán vị của nó.
VT \(\ge\frac{\sqrt{3\sqrt[3]{x^3.y^3.1}}}{xy}+\frac{\sqrt{3\sqrt[3]{y^3.z^3.1}}}{yz}+\frac{\sqrt{3\sqrt[3]{z^3.x^3.1}}}{zx}\)( cauchy)
= \(\sqrt{\frac{3}{xy}}+\sqrt{\frac{3}{yz}}+\sqrt{\frac{3}{zx}}\)
\(\ge3\sqrt{3}\)( cauchy)
"=" <=> x = y =z.
Bài này dùng \(a^3+b^3\ge ab\left(a+b\right)\) được không nhỉ ??
Em ngại làm lắm cô Chi, cô thử cách này có được không ạ ?
\(xyz+x^3+y^3\ge xy\left(x+y+z\right)\)\(\Rightarrow\sqrt{1+x^3+y^3}\ge\sqrt{xy\left(x+y+z\right)}\)
Các mấy cái kia cũng biến đổi vậy.
Không chắc nx :((
Số nào + lại chả được 1 số thuộc Z nhỉ
Đúng 100%
Đúng 100%
Đúng 100%
Đặt \(a=\sqrt{2x-3}\) ; \(b=\sqrt{y-2}\) ; \(c=\sqrt{3z-1}\) (\(a,b,c>0\))
Ta có : \(\frac{1}{a}+\frac{4}{b}+\frac{16}{c}+a+b+c=14\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{2x-3}+\frac{1}{\sqrt{2x-3}}-2\right)+\left(\sqrt{y-2}+\frac{4}{\sqrt{y-2}}-4\right)+\left(\sqrt{3z-1}+\frac{16}{\sqrt{3z-1}}-8\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[\frac{\left(2x-3\right)-2\sqrt{2x-3}+1}{\sqrt{2x-3}}\right]+\left[\frac{\left(y-2\right)-4\sqrt{y-2}+4}{\sqrt{y-2}}\right]+\left[\frac{\left(3z-1\right)-8\sqrt{3z-1}+16}{\sqrt{3z-1}}\right]=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(\sqrt{2x-3}-1\right)^2}{\sqrt{2x-3}}+\frac{\left(\sqrt{y-2}-2\right)^2}{\sqrt{y-2}}+\frac{\left(\sqrt{3z-1}-4\right)^2}{\sqrt{3z-1}}=0\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\left(\sqrt{2x-3}-1\right)^2=0\\\left(\sqrt{y-2}-2\right)^2=0\\\left(\sqrt{3z-1}-4\right)^2=0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=2\\y=6\\z=\frac{17}{3}\end{cases}}}\)(TMĐK)
Vậy : \(\left(x;y;z\right)=\left(2;6;\frac{17}{3}\right)\)
<=> x^2 + y^2 + z^2 - xy - 3y - 2z + 4 <= 0
<=> (x^2 - xy + 1/4y^2) + (3/4y^2 - 3y + 3) + (z^2 - 2z + 1) <= 0
<=> (x^2 - xy + 1/4y^2) + 3(1/4y^2 - y + 1) + (z^2 - 2z + 1) <=0
<=> (x-1/2y)^2 + 3(1/2y-1)^2 + (z-1)^2 <=0
Nhận xét: 3 cái bình phương đều >=0 với mọi x,y,z nên VT>=0 với mọi x,y,z. Để bất phương trình đúng thì VT=0 <=> 3 cái đồng thời = 0
<=> x = 1/2y và 1/2y = 1 và z = 1.
Bạn giải 3 phương trình trên => x = 1, y = 2, z = 1.
ko phải bài của mk nên bn ko tick cx đc,mk chỉ đăng lên để giúp bn thôi
\(VD1\)
Giả sử \(x\le y\Rightarrow\sqrt{x}\le\sqrt{y}\)
\(\Rightarrow2\sqrt{x}\le\sqrt{x}+\sqrt{y}=9\)
\(\Rightarrow\sqrt{x}\le4,5\)
\(\Rightarrow x\le4,5^2\)
\(\Rightarrow x\le20,25\)
\(\Rightarrow x\in\left\{0,1,4,9,16\right\}\)
\(\Rightarrow\sqrt{x}\in\left\{0,1,2,3,4\right\}\)
TH1 : \(x=0\Rightarrow\sqrt{x}=0\Rightarrow\sqrt{y}=9\Rightarrow y=81\)
TH2 : \(x=1\Rightarrow\sqrt{x}=1\Rightarrow\sqrt{y}=8\Rightarrow y=64\)
Th3 : \(x=4\Rightarrow\sqrt{x}=2\Rightarrow\sqrt{y}=7\Rightarrow y=49\)
Th4 : \(x=9\Rightarrow\sqrt{x}=3\Rightarrow\sqrt{y}=6\Rightarrow y=36\)
Th5 : \(x=16\Rightarrow\sqrt{x}=4\Rightarrow\sqrt{y}=5\Rightarrow y=25\)
Vì x , y có vai trò như nhau nên các trường hợp còn lại chỉ là đổi chỗ giữa x và y . ( vd y = 0 thì x = 81 )
KL....
VD2: Ta có:
x+y+z=xyz ( 1 )
Chia 2 vế của ( 1 ) cho xyz\(\ne\)0 ta đc:
\(\frac{1}{yz}+\frac{1}{xz}+\frac{1}{xy}=1\)
Giả sử \(x\ge y\ge z\ge1\)thì ta có:
\(1=\frac{1}{yz}+\frac{1}{xz}+\frac{1}{xy}\le\frac{1}{z^2}+\frac{1}{z^2}+\frac{1}{z^2}=\frac{3}{z^2}\)
\(\Rightarrow1\le\frac{3}{z^2}\Rightarrow z^2\le3\Leftrightarrow z=1\)
Thay z=1 vào ( 1 ) ta đc:
x+y+1=xy
\(\Leftrightarrow\)xy -x - y = 1
\(\Leftrightarrow\)x ( y - 1 ) - ( y - 1 ) = 2
\(\Leftrightarrow\)( x - 1 ) ( y - 1 ) =2
Mà \(x-1\ge y-1\)nên \(\hept{\begin{cases}x-1=2\\y-1=1\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=3\\y=2\end{cases}}}\)
Vậy nghiệm dương của phương trình là các hoán vị của 1, 2, 3
Do x,y có vai trò bình đẳng như nhau,giả sử \(x\le y\le z\)
Ta có:
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=z\)
\(\Rightarrow\frac{x+y}{xy}=z\)
\(\Rightarrow x+y=xyz\)
\(\Rightarrow xyz\le2y\)
\(\Rightarrow xz\le2\)
\(\Rightarrow x=1;z=2\left(h\right)x=2;z=1\)
Với \(x=1;z=2\Rightarrow y=1\left(TM\right)\)
Với \(x=2;z=1\Rightarrow y=2\left(TM\right)\)
Vậy cặp số \(\left(x;y;z\right)\) thỏa mãn là:\(\left(1;1;2\right);\left(2;2;1\right)\).
P/S:Em nghĩ câu kết luận ko cần "và các hoán vị của x,y" nữa ạ vì x=y rồi ạ.Nếu sai ở đâu mong mọi người góp ý.
x là số nguyên dương \(\Rightarrow\sqrt{x}>0\left(1\right)\)
\(\sqrt{x}+\sqrt{y}=9\Leftrightarrow\sqrt{x}=9-\sqrt{y}\)
\(\Leftrightarrow x=81-18\sqrt{y}+y\) là số nguyên
\(\Rightarrow18\sqrt{y}\)là số nguyên mà y nguyên
\(\Rightarrow y=u^2\left(u\inℤ;u\ne0\right)\Rightarrow\sqrt{x}+\sqrt{u^2}=9\text{ }\)
\(\Rightarrow\sqrt{x}+|u|=9\left(2\right)\)
\(\left(1\right);\left(2\right)\text{ và }|u|\ge1\Rightarrow|u|\in\left\{1;2;3;4;5;6;7;8\right\}\)
\(+,|u|=1\Rightarrow\hept{\begin{cases}y=1\\\sqrt{x}=8\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}y=1\\x=64\end{cases}}\)
\(+,|u|=2\Rightarrow\hept{\begin{cases}y=4\\\sqrt{x}=7\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}y=4\\x=49\end{cases}}\)
\(+,|u|=3\Rightarrow\hept{\begin{cases}y=9\\\sqrt{x}=6\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}y=9\\x=36\end{cases}}\)
\(+,|u|=4\Rightarrow\hept{\begin{cases}y=16\\\sqrt{x}=5\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}y=16\\x=25\end{cases}}\)
\(+,|u|=5\Rightarrow\hept{\begin{cases}y=25\\\sqrt{x}=4\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}y=25\\x=16\end{cases}}\)
\(+,|u|=6\Rightarrow\hept{\begin{cases}y=36\\\sqrt{x}=3\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}y=36\\x=9\end{cases}}\)
\(+,|u|=7\Rightarrow\hept{\begin{cases}y=49\\\sqrt{x}=2\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}y=49\\x=4\end{cases}}\)
\(+,|u|=8\Rightarrow\hept{\begin{cases}y=64\\\sqrt{x}=1\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}y=64\\x=1\end{cases}}\)
Vậy: \(\left(x,y\right)\in\left\{\left(1;64\right);\left(4;49\right);\left(9;36\right);\left(16;25\right);\left(25;16\right);\left(36;9\right);\left(49;4\right);\left(64;1\right)\right\}\)
Thùy Linh ei
bạn có chắc là x,y là số chính phương không thế bạn? mà làm kiểu đó?
VD2: Vai trò của x, y, z là bình đẳng,giả sử rằng \(x\ge y\ge z\)
Ta có: \(3x\ge xyz=x+y+z\)
Chia hai vế cho x ta được: \(yz\le3\Rightarrow y,z\in\left\{1;2;3\right\}\)
Với yz = 1 thì y = z = 1. Thay vào ta có: 2 + x = x tức là 0 = 2 (vô lí)
Với yz = 2 thì y = 2; z = 1 thay vào tìm được 3 + x = 2x hay x = 3 (thỏa mãn \(x\ge y\ge z\))
Với yz = 3 thì y = 3; z = 1. Thay vào tìm được x = 2 (loại vì trái với sắp xếp \(x\ge y\ge z\))
Vây ba số phải tìm là 3, 2, 1
tth_new:sai câu kết luận rồi nha.Và các hoán vị của chúng nữa.
Cool Kid: Sách "phương trình và bài toán nghiệm nguyên " của Vũ Hữu Bình có lời giải bài này. Câu kết luận y chang vậy đó má!
Mình ghi là "Ba số phải tìm là 3; 2;1" chứ có ghi là (x;y;z) đâu mà cần hoán vị. Bạn bắt lỗi gắt vãi!