Lời giải:
1. Vì $MA, MB$ là tiếp tuyến của $(O)$ nên $MA\perp OA, MB\perp OB$.

Khi đó $\widehat{MAO}=\widehat{MBO}=90^0$

Tứ giác $MAOB$ có tổng 2 góc đối nhau $\widehat{MAO}+\widehat{MBO}=90^0+90^0=180^0$

$\Rightarrow MAOB$ là tứ giác nội tiếp.

$\Rightarrow M,A,O,B$ cùng thuộc 1 đường tròn.

2.

Có: $MA=MB, OA=OB$ nên $MO$ là trung trực của $AB$

$\Rightarrow MO\perp AB$ tại $C$.

Xét tam giác $MOB$ vuông tại $B$ có đường cao $BC$. Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông thì:

$MC.MO=MB^2(1)$

Xét tam giác $MQB$ và $MBD$ có:

$\widehat{M}$ chung

$\widehat{MBQ}=\widehat{MDB}$ (góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung bằng góc nội tiếp chắn cung đó)

$\Rightarrow \triangle MQB\sim \triangle MBD$ (g.g)

$\Rightarrow \frac{MQ}{MB}=\frac{MB}{MD}$

$\Rightarrow MQ.MD=MB^2(2)$

Từ $(1); (2)\Rightarrow MQ.MD=MC.MO$ 

Hình vẽ:

a: Xét (O) có

MB,MC là các tiếp tuyến

Do đó: MB=MC

=>M nằm trên đường trung trực của BC(1)

OB=OC

=>O nằm trên đường trung trực của BC(2)

Từ (1),(2) suy ra OM là đường trung trực của BC

=>OM⊥BC tại H và H là trung điểm của BC

b: Xét (O) có

ΔBCD nội tiếp

BD là đường kính

Do đó: ΔBCD vuông tại C

=>CB⊥CD
mà OM⊥BC

nên OM//CD

c: ΔOBM vuông tại B

=>\(BO^2+BM^2=OM^2\)

=>\(BM^2=\left(2R\right)^2-R^2=3R^2\)

Xét ΔMBO vuông tại B có BH là đường cao

nên \(MH\cdot MO=MB^2=3\cdot R^2\)

Xét ΔBMO vuông tại B có sin BMO=BO/OM=1/2

nên \(\hat{BMO}=30^0\)

Xét (O) có

MB,MC là các tiếp tuyến

Do đó: MO là phân giác của góc BMC

=>\(\hat{BMC}=2\cdot\hat{BMO}=60^0\)

d: Xét (O) có

ΔBED nội tiếp

BD là đường kính

Do đó: ΔBED vuông tại E

=>BE⊥MD tại E

Xét ΔMBD vuông tại B có BE là đường cao

nên \(ME\cdot MD=MB^2\)

=>\(ME\cdot MD=MH\cdot MO\)

a: Xét tứ giác MAOB có

\(\widehat{MAO}+\widehat{MBO}=90^0+90^0=180^0\)

=>MAOB là tứ giác nội tiếp

=>M,A,O,B cùng thuộc một đường tròn

b: Xét (O) có

MA,MB là các tiếp tuyến

Do đó: MA=MB

=>M nằm trên đường trung trực của AB(1)

Ta có: OA=OB

=>O nằm trên đường trung trực của BA(2)

Từ (1) và (2) suy ra MO là đường trung trực của BA

=>MO\(\perp\)BA tại C và C là trung điểm của AB

Xét ΔMAO vuông tại A có AC là đường cao

nên \(MC\cdot MO=MA^2\left(3\right)\)

Xét (O) có

ΔAQD nội tiếp

AD là đường kính

Do đó: ΔAQD vuông tại Q

=>QA\(\perp\)QD tại Q

=>AQ\(\perp\)DM tại Q

Xét ΔADM vuông tại A có AQ là đường cao

nên \(MQ\cdot MD=MA^2\left(4\right)\)

Từ (3) và (4) suy ra \(MC\cdot MO=MQ\cdot MD\)

hổn biết :>

:))

a: Xét (O) có

MA,MB là các tiếp tuyến

Do đó: MA=MB và OM là phân giác của góc AOB và MO là phân giác của góc AMB

ΔOAB cân tại O

mà OM là đường phân giác

nên OM⊥AB tại H và H là trung điểm của AB

Xét ΔOAM vuông tại A có AH là đường cao

nên \(OH\cdot OM=OA^2=R^2\)

b: ΔONP cân tại O

mà OI là đường trung tuyến

nên OI⊥NP tại I

Ta có: \(\hat{OIM}=\hat{OAM}=90^0\)

=>O,I,M,A cùng thuộc đường tròn đường kính OM

Tâm là trung điểm của OM

c: Xét (O) có

CA,CN là các tiếp tuyến

Do đó: CA=CN

Xét (O) có

DN,DB là các tiếp tuyến

Do đó: DN=DB

Chu vi tam giác MCD là:

MC+MD+CD

=MC+CN+MD+DN

=MC+CA+MD+DB

=MA+MB

=2MA=2*5=10(cm)