a: góc MAO+góc MBO=180 độ

=>MAOB nội tiếp

b: Xét ΔMAC và ΔMDA có

góc MAC=góc MDA

góc AMC chung

=>ΔMAC đồng dạng với ΔMDA

=>MA/MD=MC/MA

=>MA^2=MD*MC

a) Xét tứ giác MAOB có 

\(\widehat{OAM}\) và \(\widehat{OBM}\) là hai góc đối

\(\widehat{OAM}+\widehat{OBM}=180^0\left(90^0+90^0=180^0\right)\)

Do đó: MAOB là tứ giác nội tiếp(Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp)

Xét (O) có 

MA là tiếp tuyến có A là tiếp điểm(gt)

MB là tiếp tuyến có B là tiếp điểm(gt)
Do đó: MA=MB(Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Ta có: OA=OB(=R)

nên O nằm trên đường trung trực của BA(Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)(1)

Ta có: MA=MB(cmt)

nên M nằm trên đường trung trực của BA(Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)(2)

Từ (1) và (2) suy ra OM là đường trung trực của AB
⇔OM⊥AB(đpcm)

b) Xét (O) có 

\(\widehat{ADC}\) là góc nội tiếp chắn \(\stackrel\frown{AC}\)

\(\widehat{MAC}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến AM và dây cung AC

Do đó: \(\widehat{ADC}=\widehat{MAC}\)(Hệ quả góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung)

hay \(\widehat{MDA}=\widehat{MAC}\)

Xét ΔMDA và ΔMAC có 

\(\widehat{MDA}=\widehat{MAC}\)(cmt)

\(\widehat{AMD}\) chung

Do đó: ΔMDA∼ΔMAC(g-g)

Suy ra: \(\dfrac{MD}{MA}=\dfrac{AD}{CA}\)(Các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

hay \(MA\cdot AD=MD\cdot AC\)(đpcm)

a: Xét tứ giác MAOB có \(\hat{MAO}+\hat{MBO}=90^0+90^0=180^0\)

nên MAOB là tứ giác nội tiếp

b: Xét (O) có

\(\hat{MAC}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến MA và dây cung AC

\(\hat{ADC}\) là góc nội tiếp chắn cung AC

Do đó: \(\hat{MAC}=\hat{ADC}\)

Xét ΔMAC và ΔMDA có

\(\hat{MAC}=\hat{MDA}\)

góc AMC chung

Do đó: ΔMAC~ΔMDA

=>\(\frac{MA}{MD}=\frac{MC}{MA}\)

=>\(MA^2=MD\cdot MC\left(1\right)\)

Xét (O) có

MA,MB là các tiếp tuyến

Do đó: OM là phân giác của góc AOB và MA=MB

ΔOAB cân tại O

mà OM là đường phân giác

nên OM⊥AB ại H

Xét ΔMAO vuông tại A có AH là đường cao

nên \(MH\cdot MO=MA^2\) (2)

Từ (1),(2) suy ra \(MC\cdot MD=MH\cdot MO\)

=>\(\frac{MC}{MO}=\frac{MH}{MD}\)

Xét ΔMCH và ΔMOD có

\(\frac{MC}{MO}=\frac{MH}{MD}\)

góc CMH chung

Do đó: ΔMCH~ΔMOD

=>\(\hat{MHC}=\hat{MDO}\)

mà \(\hat{MHC}+\hat{OHC}=180^0\) (hai góc kề bù)

nên \(\hat{OHC}+\hat{ODC}=180^0\)

=>OHCD là tứ giác nội tiếp

=>O,H,C,D cùng thuộc một đường tròn

Xét tứ giác MAOB có \(\widehat{MAO}+\widehat{MBO}=90^o+90^o=180^o\) nên tứ giác MAOB nội tiếp.

Dễ dàng chứng minh được \(OI\perp CD\).

Xét tứ giác MIOB có \(\widehat{MIO}+\widehat{MBO}=90^o+90^o=180^o\) nên tứ giác MIOB nội tiếp.

Vậy ta có đpcm.

Ta có: \(\hat{MEO}=\hat{MAO}=\hat{MBO}=90^0\)

=>M,A,E,O,B cùng thuộc đường tròn đường kính MO

=>MAEB nội tiếp đường tròn đường kính MO

Tâm I là trung điểm của MO

1, Vì MA ; MB lần lượt là tiếp tuyến (O) với A;B là tiếp điểm 

=> ^MAO = ^MBO = 90⁰

Xét tam giác MAOB có ^MAO + ^MBO = 180⁰

mà 2 góc đối Vậy tứ giác MAOB là tứ giác nt 1 đường tròn 

2, Xét tam giác MAC và tam giác MDA

^M _ chung 

^MAC = ^MDA ( cùng chắn cung AC ) 

Vậy tam giác MAC ~ tam giác MDA (g.g) 

\(\dfrac{MA}{MD}=\dfrac{MC}{MA}\Rightarrow MA^2=MD.MC\)

3, Ta có AM = MB ( tc tiếp tuyến cắt nhau ) 

OB = OA = R 

Vậy MO là đường trung trực 

Xét tam giác MAO vuông tại A, đường cao AH 

AO^2 = OH . OM ( hệ thức lượng ) 

\(\Rightarrow OM.OH+MC.MD=AO^2+AM^2=OM^2\left(pytago\right)\)