Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a: Xét (O) có
AD,AE là các tiếp tuyến
Do đó: AD=AE
=>A nằm trên đường trung trực của DE(1)
Ta có: OD=OE
=>O nằm trên đường trung trực của DE(2)
Từ (1),(2) suy ra AO là đường trung trực của DE
=>AO⊥DE tại H và H là trung điểm của DE
Xét (O) có
\(\hat{ADM}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến DA và dây cung DM
\(\hat{DNM}\) là góc nội tiếp chắn cung DM
Do đó: \(\hat{ADM}=\hat{NDM}\)
Xét ΔADM và ΔAND có
\(\hat{ADM}=\hat{AND}\)
góc DAM chung
Do đó: ΔADM~ΔAND
=>\(\frac{AD}{AN}=\frac{AM}{AD}\)
=>\(AD^2=AM\cdot AN\)
b: Xét ΔADO vuông tại D có DH là đường cao
nên \(AH\cdot AO=AD^2\)
=>\(AH\cdot AO=AM\cdot AN\)
=>\(\frac{AH}{AN}=\frac{AM}{AO}\)
Xét ΔAHM và ΔANO có
\(\frac{AH}{AN}=\frac{AM}{AO}\)
góc HAM chung
Do đó: ΔAHM~ΔANO
=>\(\hat{AHM}=\hat{ANO}\)
mà \(\hat{AHM}+\hat{OHM}=180^0\) (hai góc kề bù)
nên \(\hat{OHM}+\hat{ONM}=180^0\)
=>OHMN là tứ giác nội tiếp
a: Xét (O) có
AD,AE là các tiếp tuyến
Do đó: AD=AE
=>A nằm trên đường trung trực của DE(1)
TA có: OD=OE
=>O nằm trên đường trung trực của DE(2)
Từ (1),(2) suy ra OA là đường trung trực của DE
=>OA⊥DE tại H và H là trung điểm của DE
Xét (O) có
\(\hat{ADM}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến DA và dây cung DM
\(\hat{DNM}\) là góc nội tiếp chắn cung DM
Do đó: \(\hat{ADM}=\hat{DNM}\)
Xét ΔADM và ΔAND có
\(\hat{ADM}=\hat{AND}\)
góc DAM chung
Do đó: ΔADM~ΔAND
=>\(\frac{AD}{AN}=\frac{AM}{AD}\)
=>\(AD^2=AM\cdot AN\)
b: ΔODE cân tại O
mà OK là đường cao
nên OK là phân giác của góc DOE
=>sđ cung DK=sđ cung EK
Xét (O) có
\(\hat{KNE}\) là góc nội tiếp chắn cung KE
\(\hat{DNK}\) là góc nội tiếp chắn cung DK
sđ cung DK=sđ cung EK
Do đó: \(\hat{KNE}=\hat{DNK}\)
=>NK là phân giác của góc DNE
Xét ΔODA vuông tại D có DH là đường cao
nên \(AH\cdot AO=AD^2\)
=>\(AH\cdot AO=AM\cdot AN\)
=>\(\frac{AH}{AN}=\frac{AM}{AO}\)
Xét ΔAHM và ΔANO có
\(\frac{AH}{AN}=\frac{AM}{AO}\)
góc HAM chung
Do đó: ΔAHM~ΔANO
=>\(\hat{AHM}=\hat{ANO}\)
mà \(\hat{AHM}+\hat{OHM}=180^0\) (hai góc kề bù)
nên \(\hat{OHM}+\hat{ONM}=180^0\)
=>OHMN là tứ giác nội tiếp
O A B D E C H P F N M I
a) Ta có \(\sin\widehat{OAB}=\frac{OB}{OA}=\frac{1}{2}\). Suy ra \(\widehat{BAC}=2\widehat{OAB}=60^0\)
Vì AB = AC nên \(\Delta ABC\) đều. Vậy \(BC=AB=OB\sqrt{3}=R\sqrt{3}\)
Gọi I là tiếp điểm của FN với (O). Ta có:
\(\widehat{MON}=\widehat{IOM}+\widehat{ION}=\frac{1}{2}\left(\widehat{IOB}+\widehat{IOC}\right)=\frac{1}{2}\widehat{BOC}=60^0=\widehat{MCN}\)
Suy ra tứ giác MNCO nội tiếp.
b) Theo hệ thức lượng: \(\overline{AH}.\overline{AO}=AB^2=\overline{AD}.\overline{AE}\). Suy ra tứ giác DHOE nội tiếp
Ta thấy \(OD=OE,HO\perp HB\), do đó HO,BC là phân giác ngoài và phân giác trong \(\widehat{DHE}\)
Dễ thấy D và P đối xứng nhau qua OA vì dây cung \(DP\perp OA\)
Vì \(\widehat{DHE}+\widehat{DHP}=2\left(\widehat{DHB}+\widehat{DHA}\right)=180^0\) nên P,H,E thẳng hàng.
c) Do N,O,E thẳng hàng nên \(\widehat{DOE}=180^0-\widehat{MON}=120^0\). Suy ra \(DE=R\sqrt{3}\)
Theo hệ thức lượng thì:
\(AD.AE=AB^2\Rightarrow AD^2+AD.DE=AB^2\)
\(\Rightarrow\left(\frac{AD}{DE}\right)^2+\frac{AD}{DE}-\left(\frac{AB}{DE}\right)^2=0\)
\(\Rightarrow\left(\frac{AD}{DE}\right)^2+\frac{AD}{DE}-1=0\) vì \(AB=DE=R\sqrt{3}\)
\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}\frac{AD}{DE}=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\left(c\right)\\\frac{AD}{DE}=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}\left(l\right)\end{cases}}\) vì \(\frac{AD}{DE}>0\)
\(\Rightarrow\frac{AD}{AE}=\frac{\sqrt{5}-1}{\sqrt{5}+1}=\frac{3-\sqrt{5}}{2}.\)
a: Xét tứ giác ODAE có
góc ODA+góc OEA=180 độ
=>ODAE là tứ giác nội tiếp
b: \(AE=\sqrt{\left(3R\right)^2-R^2}=2\sqrt{2}\cdot R\)
\(OI=\dfrac{OE^2}{OA}=\dfrac{R^2}{3R}=\dfrac{R}{3}\)
c: Xét ΔDIK vuông tại I và ΔDHE vuông tại H có
góc IDK chung
=>ΔDIK đồng dạng vơi ΔDHE
=>DI/DH=DK/DE
=>DH*DK=DI*DE=2*IE^2
Cho đường tròn tâm OO bán kính OAOA. Điểm CC thuộc đoạn thẳng AOAO (CC khác AA và OO). Đường thẳng vuông góc với AOAO tại CC cắt đường tròn (O)(O) tại hai điểm DD và KK. Tiếp tuyến tại DD của đường tròn (O)(O) cắt đường thẳng AOAO tại EE. Tiếp tuyến tại AA của đường tròn (O)(O) cắt đường thẳng DEDE tại FF. Gọi HH là giao điểm của hai đường thẳng FOFO và DKDK.
Chứng minh các tứ giác AFDOAFDO và AHOKAHOK là tứ giác nội tiếp.
xet tu giac AFDO co: goc FAO=FDO=90(gt)
=> tu giac AFDO noi tiep ( tong 2 goc doi dien bang 180)
vi OA vuong goc voi DK tai C (gt) va D,K thuoc (O)
=> OC la duong trung truc cua DK
=> tam giac ODK can tai O
=> goc ODK = OKD (1)
Mat khac, ta lai co F nam ngoai (O);
FA va FD lan luot la cac tiep tuyen cua (O)
=> FO vuong goc voi AD
va ta thay DC vuong goc voi OA
nen H la truc tam cua tam giac OAD
=>AH vuong goc voi OD=> AH song song voi ED
=> goc HAO=DEO (dong vi) (2)
Ta thay goc DEO= 90- goc DOE (tong 3 goc trong tam giac DOE)
va goc ODK=90- goc DOE (tong 3 goc trong tam giac DOK)
=>goc ODK=DEO (3)
Tu (1);(2);(3)=> goc OAH=OKH
=>tu giac AHOK noi tiep