Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a: Xét (O) có
AD,AE là các tiếp tuyến
Do đó: AD=AE
=>A nằm trên đường trung trực của DE(1)
Ta có: OD=OE
=>O nằm trên đường trung trực của DE(2)
Từ (1),(2) suy ra AO là đường trung trực của DE
=>AO⊥DE tại H và H là trung điểm của DE
Xét (O) có
\(\hat{ADM}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến DA và dây cung DM
\(\hat{DNM}\) là góc nội tiếp chắn cung DM
Do đó: \(\hat{ADM}=\hat{NDM}\)
Xét ΔADM và ΔAND có
\(\hat{ADM}=\hat{AND}\)
góc DAM chung
Do đó: ΔADM~ΔAND
=>\(\frac{AD}{AN}=\frac{AM}{AD}\)
=>\(AD^2=AM\cdot AN\)
b: Xét ΔADO vuông tại D có DH là đường cao
nên \(AH\cdot AO=AD^2\)
=>\(AH\cdot AO=AM\cdot AN\)
=>\(\frac{AH}{AN}=\frac{AM}{AO}\)
Xét ΔAHM và ΔANO có
\(\frac{AH}{AN}=\frac{AM}{AO}\)
góc HAM chung
Do đó: ΔAHM~ΔANO
=>\(\hat{AHM}=\hat{ANO}\)
mà \(\hat{AHM}+\hat{OHM}=180^0\) (hai góc kề bù)
nên \(\hat{OHM}+\hat{ONM}=180^0\)
=>OHMN là tứ giác nội tiếp
a: ΔODE cân tại O
mà OM là trung tuyến
nên OM vuông góc DE
=>góc OMA=90 độ=góc OCA=góc OBA
=>O,A,B,M,C cùng thuộc 1 đường tròn
b: Xét ΔBSC và ΔCSD có
góc SBC=góc SCD
góc S chung
=>ΔBSC đồng dạng với ΔCSD
=>SB/CS=SC/SD
=>CS^2=SB*SD
góc DAS=gócEBD
=>góc DAS=góc ABD
=>ΔSAD đồng dạng với ΔSBA
=>SA/SB=SD/SA
=>SA^2=SB*SD=SC^2
=>SA=SC
c; BE//AC
=>EH/SA=BH/SC=HJ/JS
mà SA=SC
nênHB=EH
=>H,O,C thẳng hàng
O A B D E C H P F N M I
a) Ta có \(\sin\widehat{OAB}=\frac{OB}{OA}=\frac{1}{2}\). Suy ra \(\widehat{BAC}=2\widehat{OAB}=60^0\)
Vì AB = AC nên \(\Delta ABC\) đều. Vậy \(BC=AB=OB\sqrt{3}=R\sqrt{3}\)
Gọi I là tiếp điểm của FN với (O). Ta có:
\(\widehat{MON}=\widehat{IOM}+\widehat{ION}=\frac{1}{2}\left(\widehat{IOB}+\widehat{IOC}\right)=\frac{1}{2}\widehat{BOC}=60^0=\widehat{MCN}\)
Suy ra tứ giác MNCO nội tiếp.
b) Theo hệ thức lượng: \(\overline{AH}.\overline{AO}=AB^2=\overline{AD}.\overline{AE}\). Suy ra tứ giác DHOE nội tiếp
Ta thấy \(OD=OE,HO\perp HB\), do đó HO,BC là phân giác ngoài và phân giác trong \(\widehat{DHE}\)
Dễ thấy D và P đối xứng nhau qua OA vì dây cung \(DP\perp OA\)
Vì \(\widehat{DHE}+\widehat{DHP}=2\left(\widehat{DHB}+\widehat{DHA}\right)=180^0\) nên P,H,E thẳng hàng.
c) Do N,O,E thẳng hàng nên \(\widehat{DOE}=180^0-\widehat{MON}=120^0\). Suy ra \(DE=R\sqrt{3}\)
Theo hệ thức lượng thì:
\(AD.AE=AB^2\Rightarrow AD^2+AD.DE=AB^2\)
\(\Rightarrow\left(\frac{AD}{DE}\right)^2+\frac{AD}{DE}-\left(\frac{AB}{DE}\right)^2=0\)
\(\Rightarrow\left(\frac{AD}{DE}\right)^2+\frac{AD}{DE}-1=0\) vì \(AB=DE=R\sqrt{3}\)
\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}\frac{AD}{DE}=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\left(c\right)\\\frac{AD}{DE}=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}\left(l\right)\end{cases}}\) vì \(\frac{AD}{DE}>0\)
\(\Rightarrow\frac{AD}{AE}=\frac{\sqrt{5}-1}{\sqrt{5}+1}=\frac{3-\sqrt{5}}{2}.\)
a: Xét tứ giác ODAE có
góc ODA+góc OEA=180 độ
=>ODAE là tứ giác nội tiếp
b: \(AE=\sqrt{\left(3R\right)^2-R^2}=2\sqrt{2}\cdot R\)
\(OI=\dfrac{OE^2}{OA}=\dfrac{R^2}{3R}=\dfrac{R}{3}\)
c: Xét ΔDIK vuông tại I và ΔDHE vuông tại H có
góc IDK chung
=>ΔDIK đồng dạng vơi ΔDHE
=>DI/DH=DK/DE
=>DH*DK=DI*DE=2*IE^2
a: Xét (O) có
ΔAMB nội tiếp
AB là đường kính
Do đó: ΔAMB vuông tại M
=>MA⊥MB tại M
Xét tứ giác MEOB có \(\hat{EMB}+\hat{EOB}=90^0+90^0=180^0\)
nên MEOB là tứ giác nội tiếp
b: Xét (O) có
\(\hat{DMA}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến MD và dây cung MA
\(\hat{MBA}\) là góc nội tiếp chắn cung MA
Do đó: \(\hat{DMA}=\hat{MBA}\)
=>\(\hat{DME}=\hat{MBA}\)
mà \(\hat{MBA}=\hat{DEM}\left(=180^0-\hat{OEM}\right)\)
nên \(\hat{DME}=\hat{DEM}\)
=>ΔDME cân tại D
Xét ΔBMA vuông tại M và ΔBOK vuông tại O có
góc MBA chung
Do đó: ΔBMA~ΔBOK
=>\(\frac{BM}{BO}=\frac{BA}{BK}\)
=>\(BM\cdot BK=BO\cdot BA=2R^2\) không đổi
a: Xét (O) có
AD,AE là các tiếp tuyến
Do đó: AD=AE
=>A nằm trên đường trung trực của DE(1)
TA có: OD=OE
=>O nằm trên đường trung trực của DE(2)
Từ (1),(2) suy ra OA là đường trung trực của DE
=>OA⊥DE tại H và H là trung điểm của DE
Xét (O) có
\(\hat{ADM}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến DA và dây cung DM
\(\hat{DNM}\) là góc nội tiếp chắn cung DM
Do đó: \(\hat{ADM}=\hat{DNM}\)
Xét ΔADM và ΔAND có
\(\hat{ADM}=\hat{AND}\)
góc DAM chung
Do đó: ΔADM~ΔAND
=>\(\frac{AD}{AN}=\frac{AM}{AD}\)
=>\(AD^2=AM\cdot AN\)
b: ΔODE cân tại O
mà OK là đường cao
nên OK là phân giác của góc DOE
=>sđ cung DK=sđ cung EK
Xét (O) có
\(\hat{KNE}\) là góc nội tiếp chắn cung KE
\(\hat{DNK}\) là góc nội tiếp chắn cung DK
sđ cung DK=sđ cung EK
Do đó: \(\hat{KNE}=\hat{DNK}\)
=>NK là phân giác của góc DNE
Xét ΔODA vuông tại D có DH là đường cao
nên \(AH\cdot AO=AD^2\)
=>\(AH\cdot AO=AM\cdot AN\)
=>\(\frac{AH}{AN}=\frac{AM}{AO}\)
Xét ΔAHM và ΔANO có
\(\frac{AH}{AN}=\frac{AM}{AO}\)
góc HAM chung
Do đó: ΔAHM~ΔANO
=>\(\hat{AHM}=\hat{ANO}\)
mà \(\hat{AHM}+\hat{OHM}=180^0\) (hai góc kề bù)
nên \(\hat{OHM}+\hat{ONM}=180^0\)
=>OHMN là tứ giác nội tiếp