Lời giải:

Gọi giao của $BO$ và $AC$ là $H$

Vì $BA=BC; OA=OC$ nên $BO$ là trung trực của $AC$

$\Rightarrow BO$ vuông góc với $AC$ tại trung điểm $H$ của $AC$.

Do đó $HO$ là đường trung bình ứng với cạnh $CD$ của tam giác $ACD$

$\Rightarrow HO=2$

$BH=BO-HO=R-2$
Theo định lý Pitago:

$BC^2-BH^2=CH^2=CO^2-HO^2$

$\Leftrightarrow (4\sqrt{3})^2-(R-2)^2=R^2-2^2$

$\Leftrightarrow 48-(R-2)^2=R^2-4$

$\Rightarrow R=6$ (cm)

Hình vẽ:

Câu 1:

a: Xét (O) có

ΔACB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó: ΔACB vuông tại C

=>CA⊥CB tại C

Xét (O) có

ΔAEB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó: ΔAEB vuông tại E

=>\(\hat{AEB}=90^0\)

Xét tứ giác BEFI có \(\hat{BEF}+\hat{BIF}=90^0+90^0=180^0\)

nên BEFI là tứ giác nội tiếp

b: Xét ΔACB vuông tại C có CI là đường cao

nên \(AI\cdot AB=AC^2\left(1\right)\)

Xét ΔAIF vuông tại I và ΔAEB vuông tại E có

\(\hat{IAF}\) chung

Do đó: ΔAIF~ΔAEB

=>\(\frac{AI}{AE}=\frac{AF}{AB}\)

=>\(AI\cdot AB=AE\cdot AF\) (2)

Từ (1),(2) suy ra \(AC^2=AE\cdot AF\)

Lấy điểm I trên đoạn thẳng AC . Ta có hình vẽ sau:

A B C D O I

Khi đó: \(AB.CD=IA.BD\Leftrightarrow\frac{AB}{AI}=\frac{DB}{DC}\)

Mà \(\widehat{BAI}=\widehat{BDC}\)nên \(\Delta BAI\infty\Delta BDC\)(c.g.c)

Từ đó \(\widehat{IBC}=\widehat{BDC}\)

Với cách chọn điểm I như trên ta được:

\(\widehat{IBC}=\widehat{ABD}\Rightarrow\Delta IBC\infty\Delta ABD\)  (g.g)

 Từ đó suy ra AB . BC = IC . BD  (đpcm)