MC*MD=MH*MO

=>ΔMHC đồng dạng với ΔMDO

=>OHCD nội tiếp

=>góc OHD=góc OCD

=>góc OHD=góc MHC

GỌi K là giao của AB  và CD

=>90 độ-góc OHD=90 độ-góc MHC

=>góc DHK=góc KHC

=>HK là phân giác của góc PHC

Vì NM vuông góc HK

nên HM là phân giác góc ngoài của góc PHC

=>MC/MD=HC/HD; CK/DK=HC/HD

=>MC/MD=CK/DK

CP//AD

=>CP/AD=MC/MD

CQ//AD

=>CQ/AD=CK/DK

=>CP/AD=CQ/AD

=>CP=CQ

=>ĐPCM

MC*MD=MH*MO

=>MC/MO=MH/MD

=>ΔMCH đồng dạng với ΔMOD

=>goc MHC=góc MDO=góc ODC

=>OHCD nội tiếp

=>góc OHD=góc OCD

ΔOCD cân tại O nên góc ODC=góc OCD

=>góc OHD=góc MHC

=>90 dộ-góc OHD=90 độ-góc MHC(1)

Gọi K là giao của AB và CD

(1)=>góc DHK=góc KHC

=>HK là phân giác trong của góc DHC

Vì HM vuông góc HK

nên HM là phân giác góc ngoài của ΔDHC

MC/MD=HC/HD=CK/DK

CP//AD

=>CP/AD=MC/MD

CQ//AD

=>CQ/AD=CK/DK

Từ (3), (4), (5) suy ra CP/AD=CQ/AD

=>CP=CQ

=>C là trung điểm của PQ

ΔOCD cân tại O

mà OE là đường trung tuyến

nên OE⊥CD tại E

Xét (O) có

MA,MB là các đường tiếp tuyến

Do đó: OM là phân giác của góc AOB

=>\(\hat{AOM}=\hat{BOM}=\frac12\cdot\hat{AOB}\)

Ta có: \(\hat{OEM}=\hat{OAM}=\hat{OBM}=90^0\)

=>O,E,M,A,B cùng thuộc đường tròn đường kính OM

=>\(\hat{AEM}=\hat{AOM}=\frac12\cdot\hat{AOB}\) (1)

Xét (O) có

\(\hat{ASB}\) là góc nội tiếp chắn cung AB

=>\(\hat{ASB}=\frac12\cdot\hat{AOB}\left(2\right)\)

Từ (1),(2) suy ra \(\hat{AEM}=\hat{ASB}\)

mà hai góc này là hai góc ở vị trí đồng vị

nên EC//SB

=>CD//SB

a) tứ giác AOBM nội tiếp thì có tâm đường tròn là trung điểm OM

cần CM tứ giác OIMB nội tiếp: dùng tổng hai góc đối cộng với nhau bằng 180o, mà đã có OBM=90o, mà I là trung điểm dây cung CD nên OI vuông góc CD luôn => OIM=90o

Vậy tứ giác OIMB nội tiếp thì tâm đường tròn cũng tại trung điểm OM luôn

b) 5 điểm A,I,O,B,M cùng thuộc 1 đtron

=> tứ giác AIOB nội tiếp => góc AIB=AOB (cùng chắn cung)

tứ giác AIOM nội tiếp => góc AIM=AOM (ccc)

mà góc AOM=1/2AOB=AIM=1/2AIB

=> BIM=1/2AIB (đpcm