a. Ta có ON cắt BC tại I, I là trung điểm của BC, ON là bán kính ⇒ ON ⊥ BC tại I.

Xét △OCI và △OBI :

\(\hat{OIC}=\hat{OIB}=90^o\left(cmt\right)\)

\(IC=IB\left(gt\right)\)

OI chung.

\(\Rightarrow\Delta OCI=\Delta OBI\left(c.g.c\right)\)

⇒ \(\hat{IOC}=\hat{IOB}\) hay : \(\hat{NOC}=\hat{NOB}\Rightarrow\stackrel\frown{NC}=\stackrel\frown{NB}\)

Mà : \(\hat{NAB}\) hay \(\hat{DAB}\) nội tiếp chắn cung NB, \(\hat{NAC}\) hay \(\hat{DAC}\) nội tiếp chắn cung NC.

Vậy : \(\hat{DAC}=\hat{DAB}\) hay AD là phân giác của góc BAC.

b. \(\hat{MAB}=\dfrac{1}{2}sđ\stackrel\frown{AB}\) (góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung).

\(\hat{ACB}=\dfrac{1}{2}sđ\stackrel\frown{AB}\) (góc nội tiếp chắn cung AB).

\(\Rightarrow\hat{MAB}=\hat{ACB}\Leftrightarrow\hat{MAB}=\hat{ACM}\)

Xét △MAB và △MCA :

\(\hat{MAB}=\hat{ACM}\left(cmt\right)\)

\(\hat{M}\) chung

\(=> \Delta MAB \backsim \Delta MCA (g.g)\) \(\Rightarrow\dfrac{MA}{MC}=\dfrac{MB}{MA}\Leftrightarrow MA^2=MB.MC\left(a\right)\)

Mặt khác : \(\hat{DAB}=\hat{DAC}\left(cmt\right)\) và \(\hat{DCA}=\hat{MAB}\left(cmt\right)\)

Mà \(\hat{ADM}=\hat{DAC}+\hat{DCA}\) (tính chất góc ngoài của tam giác).

\(\Rightarrow\hat{ADM}=\hat{DAB}+\hat{MAB}\Leftrightarrow\hat{ADM}=\hat{MAD}\)

⇒ △ADM cân tại M ⇒ \(MA=MD\left(b\right)\)

Từ (a), (b) : Vậy : \(MD^2=MB.MC\left(đpcm\right)\)

a.

Do MA là tiếp tuyến \(\Rightarrow AM\perp OA\Rightarrow\Delta OAM\) vuông tại A

\(\Rightarrow O,A,M\) cùng thuộc đường tròn đường kính OM

Do \(OK\perp BC\Rightarrow\Delta OKM\) vuông tại K

\(\Rightarrow O,K,M\) cùng thuộc đường tròn đường kính OM

\(\Rightarrow M,A,O,K\) cùng thuộc đường tròn đường kính OM

Hay tứ giác MAOK nội tiếp đường tròn đường kính OM, với tâm là trung điểm J của OM và bán kính \(R=\dfrac{OM}{2}\)

b.

Do \(AI||BC\Rightarrow\widehat{IAK}=\widehat{AKM}\) (so le trong)

Lại có MAOK nội tiếp \(\Rightarrow\widehat{AKM}=\widehat{AOM}\) (cùng chắn cung AM)

\(\Rightarrow\widehat{IAK}=\widehat{AOM}\) (1)

Mà \(\widehat{AOM}+\widehat{AMO}=90^0\) (\(\Delta OAM\) vuông tại A theo c/m câu a)

\(\Rightarrow\widehat{IAK}+\widehat{AMO}=90^0\)

c.

Gọi E là trung điểm AI \(\Rightarrow OE\perp IA\)

Mà \(IA||BC\Rightarrow OE\perp BC\Rightarrow O,E,K\) thẳng hàng

\(\Rightarrow KE\) đồng thời là đường cao và trung tuyến trong tam giác KAI

\(\Rightarrow\Delta KAI\) cân tại K \(\Rightarrow\widehat{AIK}=\widehat{IAK}\) \(\Rightarrow\widehat{AIK}=\widehat{AOM}\) (theo (1))

Mặt khác \(\widehat{AIK}\) và \(\widehat{AOD}\) là góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn cung AD của (O)

\(\Rightarrow\widehat{AIK}=\dfrac{1}{2}\widehat{AOD}\Rightarrow\widehat{AOM}=\dfrac{1}{2}\left(\widehat{AOM}+\widehat{MOD}\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{AOM}=\widehat{MOD}\)

Xét hai tam giác AOM và DOM có:

\(\left\{{}\begin{matrix}OM\text{ chung}\\\widehat{AOM}=\widehat{MOD}\left(cmt\right)\\AO=DO=R\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\Delta AOM=\Delta DOM\left(c.g.c\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{ODM}=\widehat{OAM}=90^0\)

\(\Rightarrow MD\) là tiếp tuyến của (O)

a: Xét tứ giác OKMA có \(\hat{OKM}+\hat{OAM}=90^0+90^0=180^0\)

nên OKMA là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính OM

Tâm là trung điểm của OM

Bán kính là \(\frac{OM}{2}\)

b: Gọi H là giao điểm của OK và AI

BC//AI

OK⊥BC

Do đó: OK⊥AI tại H

=>ΔHKA vuông tại H

=>\(\hat{HKA}+\hat{HAK}=90^0\)

=>\(\hat{KAI}+\hat{OKA}=90^0\)

mà \(\hat{OKA}=\hat{OMA}\) (OKMA là tứ giác nội tiếp)

nên \(\hat{KAI}+\hat{OMA}=90^0\)

c: Xét (O) có

AI,BC là các dây

AI//BC

Do đó: sđ cung CI=sđ cung AB

Xét (O) có

\(\hat{DKB}\) là góc có đỉnh ở bên trong đường tròn chắn hai cung DB và CI

=>\(\hat{DKB}=\frac12\) (sđ cung DB+sđ cung CI)

=1/2(sđ cung DB+sđ cung AB)

=1/2sđ cung AD

\(=\hat{MAD}\)

=>\(\hat{MKD}=\hat{MAD}\)

=>MAKD là tứ giác nội tiếp

=>M,A,K,D cùng thuộc một đường tròn

mà M,A,K cùng thuộc đường tròn đường kính OM

nên D cũng thuộc đường tròn đường kính OM

=>ΔDOM vuông tại D

=>MD là tiếp tuyến tại D của (O)

ý 3

a: OH*OM=OA^2=R^2

b: ΔOCD cân tại O

mà OI là đường trung tuyến

nên OI vuông góc với CD

Xét tứ giác OIAM có

góc OIM=góc OAM=90 độ

nên OIAM là tứ giác nội tiếp

c: Xét ΔOHK vuông tại H và ΔOIM vuông tại I có

góc HOK chung

Do đo: ΔOHK đồng dạng với ΔOIM

=>OH/OI=OK/OM

=>OI*OK=OH*OM=R^2=OC^2

mà CI vuông góc với OK

nên ΔOCK vuông tại C

=>KC là tiếp tuyến của (O)