HS tự chứng minh

a: góc AEB=(sd cung BC+sđ cung DM)/2

=1/2(sđ cung BC+sđ cung CM)

=1/2*sđ cung BM

=góc ABM

=góc ABE

=>ΔABE cân tại A

mà AH là phân giác

nen AH vuông góc với BE

b: Xét ΔMDE và ΔMBD có

góc MDE=góc MBD

góc DME chung

=>ΔMDE đồng dạng với ΔMBD

=>MD/MB=ME/MD

=>MD^2=MB*ME

a: Xét (O) có

\(\hat{DBM}\) là góc nội tiếp chắn cung DM

\(\hat{CBM}\) là góc nội tiếp chắn cung CM

\(\hat{DBM}=\hat{CBM}\)

Do đó: sđ cung DM=sđ cung CM

Xét (O) có \(\hat{CEB}\) là góc có đỉnh ở bên trong đường tròn chắn hai cung CB và DM

=>\(\hat{CEB}=\frac12\) (sđ cung CB+sđ cung DM)

=1/2(sđ cung CB+sđ cung CM)

=1/2*sđ cung BM

Xét (O) có

\(\hat{ABM}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến BA và dây cung BM

=>\(\hat{ABM}\) =1/2*sđ cung BM

=>\(\hat{ABM}=\hat{AEB}\)

=>\(\hat{ABE}=\hat{AEB}\)

=>ΔABE cân tại A

mà AH là đường phân giác

nên AH⊥BE tại H

b: Xét (O) có

\(\hat{MDC}\) là góc nội tiếp chắn cung MC

\(\hat{MBD}\) là góc nội tiếp chắn cung MD

sđ cung MC=sđ cung MD

Do đó: \(\hat{MDC}=\hat{MBD}\)

Xét ΔMDE và ΔMBD có

\(\hat{MDE}=\hat{MBD}\)

góc DME chung

Do đó: ΔMDE~ΔMBD

=>\(\frac{MD}{MB}=\frac{ME}{MD}\)

=>\(MD^2=ME\cdot MB\)

a: góc ABH=góc ABM=1/2*sđ cung BM

góc AEB=1/2(sđ cung BC+sđ cung DM)

=1/2(sđ cung BC+sđ cung MC)

=1/2*sđ cung BM

=>góc AEB=góc ABE

=>ΔABE cân tại A

mà AH là phân giác

nên AH vuông góc với BE

b: Xét ΔMDE và ΔMBD có

góc MDE=góc MBD

góc DME chung

Do đó: ΔMDE đồng dạng với ΔMBD

=>MD/MB=ME/MD

=>MD^2=MB*ME

a: Xét (O) có

\(\hat{DBM}\) là góc nội tiếp chắn cung DM

\(\hat{CBM}\) là góc nội tiếp chắn cung CM

\(\hat{DBM}=\hat{CBM}\)

Do đó: sđ cung DM=sđ cung CM

Xét (O) có \(\hat{CEB}\) là góc có đỉnh ở bên trong đường tròn chắn hai cung CB và DM

=>\(\hat{CEB}=\frac12\) (sđ cung CB+sđ cung DM)

=1/2(sđ cung CB+sđ cung CM)

=1/2*sđ cung BM

Xét (O) có

\(\hat{ABM}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến BA và dây cung BM

=>\(\hat{ABM}\) =1/2*sđ cung BM

=>\(\hat{ABM}=\hat{AEB}\)

=>\(\hat{ABE}=\hat{AEB}\)

=>ΔABE cân tại A

mà AH là đường phân giác

nên AH⊥BE tại H

b: Xét (O) có

\(\hat{MDC}\) là góc nội tiếp chắn cung MC

\(\hat{MBD}\) là góc nội tiếp chắn cung MD

sđ cung MC=sđ cung MD

Do đó: \(\hat{MDC}=\hat{MBD}\)

Xét ΔMDE và ΔMBD có

\(\hat{MDE}=\hat{MBD}\)

góc DME chung

Do đó: ΔMDE~ΔMBD

=>\(\frac{MD}{MB}=\frac{ME}{MD}\)

=>\(MD^2=ME\cdot MB\)

Tia phân giác AD cắt (O) tại E.

+  là góc có đỉnh nằm bên trong đường tròn

+  là góc tạo bởi tiếp tuyến AS và dây AE

+  lần lượt là các góc nội tiếp chắn các cung 

Từ (1); (2) và (3) suy ra 

⇒ ΔSAD cân tại S

⇒ SA = SD.

Tia phân giác AD cắt (O) tại E.

+  là góc có đỉnh nằm bên trong đường tròn

+  là góc tạo bởi tiếp tuyến AS và dây AE

+  lần lượt là các góc nội tiếp chắn các cung 

Từ (1); (2) và (3) suy ra 

⇒ ΔSAD cân tại S

⇒ SA = SD.

Kiến thức áp dụng

a.

Ta có \(\widehat{SAD}=\widehat{ACE}\) (góc nội tiếp và góc tiếp tuyến cùng chắn cung AE)

Lại có \(\widehat{ADB}\) là góc có đỉnh nằm trong đường tròn 

\(\Rightarrow\widehat{ADB}=\dfrac{1}{2}\left(sđ\stackrel\frown{AB}+sđ\stackrel\frown{CE}\right)=\widehat{ACB}+\widehat{CAE}\)

Mà \(\widehat{ACB}=\widehat{SAB}\) (cùng chắn cung AB) và \(\widehat{CAE}=\widehat{BAE}\) (do AE là phân giác \(\widehat{BAC}\))

\(\Rightarrow\widehat{ADB}=\widehat{SAB}+\widehat{BAE}=\widehat{SAD}\Rightarrow\Delta SAD\) cân tại S

\(\Rightarrow SA=SD\)

b.

Xét hai tam giác SAB và SCA có:

\(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{ASB}\text{ chung}\\\widehat{SAB}=\widehat{ACB}\left(cmt\right)\end{matrix}\right.\)  \(\Rightarrow\Delta SAB\sim\Delta SCA\left(g.g\right)\)

\(\Rightarrow\dfrac{SA}{SC}=\dfrac{SB}{SA}\Rightarrow SA^2=SB.SC\)

Theo câu a ta có \(SA=SD\)

\(\Rightarrow SD^2=SB.SC\)