Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
A B M C N D O E
a) Ta có : \(\widehat{ANC}=\widehat{ACM}=\frac{1}{2}\) sđ cung MC ; Góc CAN là góc chung của hai tam giác CAM và tam giác NAC
\(\Rightarrow\Delta CAM~\Delta NAC\left(g.g\right)\) \(\Rightarrow\frac{CM}{CN}=\frac{AC}{AN}\) (1)
Tương tự với tam giác BAM và tam giác NAB ta cũng có \(\widehat{MBA}=\widehat{ANB}=\frac{1}{2}\)sđ cung BM ; Góc NAB là góc chung của hai tam giác
\(\Rightarrow\Delta BAM~\Delta NAB\left(g.g\right)\Rightarrow\frac{AB}{AN}=\frac{BM}{BN}\) (2)
Mà AB = AC (vì AB và AB là hai tiếp tuyến của (O))
Do đó, kết hợp (1) và (2) ta có \(\frac{CM}{CN}=\frac{BM}{BN}\Rightarrow BM.CN=BN.CM\)
Giải thích các bước giải:
a/ Chứng minh: OA vuông góc MN.
Áp dụng tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau ta có AM=AN⇒AAM=AN⇒A thuộc trung trực của MN.
Lại có OM=ON=R⇒OOM=ON=R⇒O thuộc trung trực của MN
⇒OA⇒OA là trung trực của MN.
⇒OA⊥MN⇒OA⊥MN (1).
b/ Vẽ đường kính NOC. Chứng minh rằng: MC//AO.
Xét tam giác MNC có: MO=OC=ON=R⇒MC=12NCMO=OC=ON=R⇒MC=12NC
⇒ΔMNC⇒ΔMNC vuông tại M (Định lí đường trung tuyến)
⇒MN⊥MC⇒MN⊥MC (2).
Từ (1) và (2) => MC // AO.
c/ Tính độ dài các cạnh của tam giác AMN biết OM = 3 cm, OA = 5 cm.
Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông OAM có:
a) Tam giác MAN cân tại A có OA là tia phân giác nên nó cũng trùng với đường cao. Vì vậy OA⊥MN.
b) Do AM, AN là hai tiếp tuyến cùng xuất phát từ một điểm nằm ngoài đường tròn nên AO là phân giác góc ^MAN và I là điểm chính giữa của cung MN. Từ đó ta có:
.
⇒ IM là phân giác góc ^NMA.
⇒ I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác MNA.
c) Nếu tứ giác OMIN là hình thoi thì OM=ON=MI=IN=R.
Suy ra các tam giác OMI, ONI là tam giác đều. Vì vậy ^MON=^MOA+^AON=60o+60o=120o.
Suy ra ^MAN=180o−^MON=60o.
Ngược lại giả sử ^MAN=60o. Suy ra ^MON=180o−^MAN=120o.
Có OA là tia phân giác của góc MON nên ^MOA=^AON=120o:2=60o.
Suy ra các tam giác MOA, AON là tam giác đều hay tứ giác OMIN là hình thoi.
Vậy ^MAN=60o thì tứ giác OMIN là hình thoi.
a: Xét tứ giác ABOC có \(\widehat{ABO}+\widehat{ACO}=180^0\)
nên ABOC là tứ giác nội tiếp
Tâm là trug điểm của AO
b: Xét (O) có
AB là tiếp tuýen
AC là tiếp tuyến
Do đó: AB=AC
mà OB=OC
nên OA là đường trung trực của BC
Xét ΔOBA vuông tại B có BH là đường cao
nên \(AH\cdot AO=AB^2\left(1\right)\)
Xét ΔABM và ΔANB có
\(\widehat{ABM}=\widehat{ANB}\)
\(\widehat{BAM}\) chung
Do đo; ΔABM\(\sim\)ΔANB
Suy ra: AB/AN=AM/AB
hay \(AB^2=AN\cdot AM\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) suy ra \(AH\cdot AO=AM\cdot AN\)
c) Cần chứng minh AD/AE= DK/KE
HK là phân giác góc DHE => DK/KE=DH/HE (1)
Tam giác ADH~AOE => DH/AD=OE/AO
Tam giác ADO~AHE => OD/AO=HE/AE
Vì OE/AO=OD/AO= > DH/AD=HE/AE => DH/HE= AD/AE(2)
Từ 1-2 => AD/AE= DK/KE => đpcm
d) Kẻ DN'//BE với N' thuộc BC. Kéo dài AN' cắt BE tại M'. Chứng minh BE=EM' là xong.
Sử dụng talet và tam giác đồng dạng suy ra tỷ số DN'/BE=DN'/EM' => BE=EM' nhé.
O A M N I B C H K a) Xét \(\Delta\)ABM và \(\Delta\)ANB, ta có:
góc A : góc chung
góc ABM = góc ANB (góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn cung BM)
=> \(\Delta ABM\) đồng dạng \(\Delta ANB\)
=> \(\dfrac{AB}{AN}=\dfrac{AM}{AB}\)
=> AB2 = AM.AN (đpcm)
b)Xét tứ giác ABIO
Kẻ đường kính HK đi qua trung điểm I
=> HK \(\perp\) MN tại I hay góc AIO = 900
góc ABO = 900 (AB là tuyến tiếp của đường tròn (O))
góc AIO và góc ABO cùng nhìn cạnh OA dưới 1 góc bằng nhau(=900)
=> Tứ giác ABIO nội tiếp