Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a: Xét tứ giác AIOC có \(\widehat{AIO}+\widehat{ACO}=180^0\)
nên AIOC là tứ giác nội tiếp
Xét (O) có
AB là tiếp tuyến
AC là tiếp tuyến
Do đó: AB=AC
mà OB=OC
nên OA là đường trung trực của BC
hay OA⊥BC
b: Xét ΔABD và ΔAEB có
\(\widehat{ABD}=\widehat{AEB}\)
\(\widehat{BAD}\) chung
Do đó: ΔABD\(\sim\)ΔAEB
Suy ra: AB/AE=AD/AB
hay \(AB^2=AD\cdot AE\)
a: Xét tứ giác AIOC có \(\widehat{AIO}+\widehat{ACO}=180^0\)
nên AIOC là tứ giác nội tiếp
Xét (O) có
AB là tiếp tuyến
AC là tiếp tuyến
Do đó: AB=AC
mà OB=OC
nên OA là đường trung trực của BC
hay OA⊥BC
b: Xét ΔABD và ΔAEB có
\(\widehat{ABD}=\widehat{AEB}\)
\(\widehat{BAD}\) chung
Do đó: ΔABD\(\sim\)ΔAEB
Suy ra: AB/AE=AD/AB
hay \(AB^2=AD\cdot AE\)
a: Xét (O) có
AB,AC là các tiếp tuyến
Do đó: AB=AC
=>A nằm trên đường trung trực của BC(1)
Ta có: OB=OC
=>O nằm trên đường trung trực của BC(2)
Từ (1),(2) suy ra OA là đường trung trực của BC
=>OA⊥BC tại H và H là trung điểm của BC
Xét (O) có
\(\hat{ABD}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến BA và dây cung BD
\(\hat{BED}\) là góc nội tiếp chắn cung BD
=>\(\hat{ABD}=\hat{BED}\)
Xét ΔABD và ΔAEB có
\(\hat{ABD}=\hat{AEB}\)
góc BAD chung
Do đó: ΔABD~ΔAEB
=>\(\frac{AB}{AE}=\frac{AD}{AB}\)
=>\(AD\cdot AE=AB^2\left(3\right)\)
Xét ΔABO vuông tại B có BH là đường cao
nên \(AH\cdot AO=AB^2\) (4)
Từ (3),(4) suy ra \(AD\cdot AE=AH\cdot AO\)
b: Ta có: \(AD\cdot AE=AH\cdot AO\)
=>\(\frac{AD}{AO}=\frac{AH}{AE}\)
Xét ΔADH và ΔAOE có
\(\frac{AD}{AO}=\frac{AH}{AE}\)
góc DAH chung
Do đó: ΔADH~ΔAOE
=>\(\hat{AHD}=\hat{AEO}\)
mà \(\hat{AHD}+\hat{OHD}=180^0\) (hai góc kề bù)
nên \(\hat{OHD}+\hat{OED}=180^0\)
=>OHDE là tứ giác nội tiếp
=>\(\hat{EHO}=\hat{EDO}\)
mà \(\hat{EDO}=\hat{OED}\) (ΔOED cân tại O)
và \(\hat{OED}=\hat{AHD}\)
nên \(\hat{OHE}=\hat{AHD}\)
Ta có: \(\hat{OHE}+\hat{EHB}=\hat{BHO}=90^0\)
\(\hat{AHD}+\hat{BHD}=\hat{BHA}=90^0\)
mà \(\hat{OHE}=\hat{AHD}\)
nên \(\hat{EHB}=\hat{DHB}\)
=>HB là phân giác của góc DHE
O A B D E C H P F N M I
a) Ta có \(\sin\widehat{OAB}=\frac{OB}{OA}=\frac{1}{2}\). Suy ra \(\widehat{BAC}=2\widehat{OAB}=60^0\)
Vì AB = AC nên \(\Delta ABC\) đều. Vậy \(BC=AB=OB\sqrt{3}=R\sqrt{3}\)
Gọi I là tiếp điểm của FN với (O). Ta có:
\(\widehat{MON}=\widehat{IOM}+\widehat{ION}=\frac{1}{2}\left(\widehat{IOB}+\widehat{IOC}\right)=\frac{1}{2}\widehat{BOC}=60^0=\widehat{MCN}\)
Suy ra tứ giác MNCO nội tiếp.
b) Theo hệ thức lượng: \(\overline{AH}.\overline{AO}=AB^2=\overline{AD}.\overline{AE}\). Suy ra tứ giác DHOE nội tiếp
Ta thấy \(OD=OE,HO\perp HB\), do đó HO,BC là phân giác ngoài và phân giác trong \(\widehat{DHE}\)
Dễ thấy D và P đối xứng nhau qua OA vì dây cung \(DP\perp OA\)
Vì \(\widehat{DHE}+\widehat{DHP}=2\left(\widehat{DHB}+\widehat{DHA}\right)=180^0\) nên P,H,E thẳng hàng.
c) Do N,O,E thẳng hàng nên \(\widehat{DOE}=180^0-\widehat{MON}=120^0\). Suy ra \(DE=R\sqrt{3}\)
Theo hệ thức lượng thì:
\(AD.AE=AB^2\Rightarrow AD^2+AD.DE=AB^2\)
\(\Rightarrow\left(\frac{AD}{DE}\right)^2+\frac{AD}{DE}-\left(\frac{AB}{DE}\right)^2=0\)
\(\Rightarrow\left(\frac{AD}{DE}\right)^2+\frac{AD}{DE}-1=0\) vì \(AB=DE=R\sqrt{3}\)
\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}\frac{AD}{DE}=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\left(c\right)\\\frac{AD}{DE}=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}\left(l\right)\end{cases}}\) vì \(\frac{AD}{DE}>0\)
\(\Rightarrow\frac{AD}{AE}=\frac{\sqrt{5}-1}{\sqrt{5}+1}=\frac{3-\sqrt{5}}{2}.\)
a: Xét (O) có
AB,AC là tiếp tuyến
nên AB=AC
mà OB=OC
nên OA là trung trực của BC
=>OA vuông góc BC tại H
=>AH*AO=AB^2
Xet ΔABD và ΔAEB có
góc ABD=góc AEB
góc BAD chung
=>ΔABD đồng dạng với ΔAEB
=>AB/AE=AD/AB
=>AB^2=AE*AD=AH*AO
b: AE*AD=AH*AO
=>AE/AH=AO/AD
=>ΔAEO đồng dạng với ΔAHD
=>góc AHD=góc AEO
=>góc OHD+góc OED=180 độ
=>OEDH là tứ giác nội tiếp
Kẻ tiếp tuyến tại E,D cắt nhau tại T
Xét (O) có
AB,AC là tiếp tuyên
nên AB=AC
mà OB=OC
nên OA là trung trực của BC
=>OA vuông góc BC
=>AH*AO=AB^2
Xét ΔABD và ΔAEB có
góc ABD=góc AEB
góc BAD chung
=>ΔABD đồng đạng với ΔAEB
=>AB/AE=AD/AB
=>AB^2=AE*AD=AH*AO
=>AD/AO=AH/AE
=>ΔADH đồng dạng vơi ΔAOE
=>góc ADH=góc AOE
=>góc DHO+góc DEO=180 độ
=>OHDE là tứ giác nội tiếp(1)
Xét tứ giác OETD có
góc OET+góc OTD=180 độ
=>OETD là tứ giác nội tiếp(2)
Từ (1), (2) suy ra O,E,T,D,H cùng thuộc 1 đường tròn
=>góc EHT=1/2*sđ cung ET; góc THD=1/2*sđ cung TD
ΔOET=ΔODT
=>ET=DT
=>góc EHT=góc DHT
=>HB là phân giác của góc DHE
b: góc EHC=90 độ-góc OHE
=90 độ-góc ODE
=(180 độ-2*góc ODE)/2
=góc DOE/2
=góc EHD
=>HC là phân giác của góc DHE