a: góc KOA+góc BOA=90 độ

góc KAO+góc COA=90 độ

mà góc BOA=góc COA

nên góc KOA=góc KAO

=>ΔKAO cân tại K

b: Xét ΔOBA vuông tại B có sin BAO=OB/OA=1/2

nên góc BAO=30 độ

=>góc BOA=60 độ

Xét ΔOBI có OB=OI và góc BOI=60 độ

nên ΔOBI đều

=>OI=OB=1/2OA=R

=>I là trung điểm của OA

ΔKAO cân tại K

mà KI là trung tuyến

nên KI vuông góc với OI

=>KI là tiếp tuyến của (O)

a: Xét (O) có

AB,AC là các tiếp tuyến

Do đó: AB=AC

=>A nằm trên đường trung trực của BC(1)

ta có: OB=OC

=>O nằm trên đường trung trực của BC(2)

Từ (1),(2) suy ra OA là đường trung trực của BC

=>OA⊥BC tại H và H là trung điểm của BC

Xét ΔOBA vuông tại B có BH là đường cao

nên \(AH\cdot AO=AB^2\)

b: Xét (O) có

ΔBCD nội tiếp

BD là đường kính

Do đó: ΔBCD vuông tại C

=>\(\hat{BCD}=90^0\)

ΔODC cân tại O

mà OM là đường trung tuyến

nên OM⊥DC tại M

Xét tứ giác OHCM có \(\hat{OHC}=\hat{OMC}=\hat{MCH}=90^0\)

nên OHCM là hình chữ nhật

a) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có ngay \(\widehat{PHB}=90^o\)

Lại có D đối xứng với B qua O nên BD là đường kính đường tròn (O)

Vậy thì \(\widehat{BCD}=90^o\Rightarrow\widehat{PCB}=90^o\)

Xét tứ giác BHCP có \(\widehat{PCB}=\widehat{PHB}=90^o\) mà C và H là hai đỉnh kề nhau nên BHCP là tứ giác nội tiếp.

b) Do BHCP là tứ giác nội tiếp nên \(\widehat{HCD}=\widehat{PBH}\)  (Góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong đỉnh đối diện với nó)

Lại có \(\widehat{ACD}=\widehat{ABD}\)   (Hai góc nội tiếp cùng chắn cung AD)

\(\Rightarrow\widehat{ACH}=\widehat{ACD}+\widehat{DCH}=\widehat{ABD}+\widehat{PBH}=\widehat{PBD}=90^o\)

Vậy nên AC vuông góc CH.

c) Tứ giác CHMA nội tiếp nên \(\widehat{CAH}=\widehat{CMH}\)   (Hai góc nội tiếp cùng chắn cung CH)

Lại có \(\widehat{CAH}=\widehat{CAB}=\widehat{CIB}\)   (Hai góc nội tiếp cùng chắn cung CB)

Vậy nên \(\widehat{CMH}=\widehat{CIB}\)

Chúng lại ở vị trí đồng vị nên HM // Bi

Xét tam giác ABQ có H là trung điểm AB, HM // BI nên HM là đường trung bình tam giác ABQ.

Suy ra M là trung điểm AQ.

a) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có ngay  = 90 o Lại có D đối xứng với B qua O nên BD là đường kính đường tròn (O) Vậy thì  = 90 o⇒ = 90 o Xét tứ giác BHCP có  = = 90 o  mà C và H là hai đỉnh kề nhau nên BHCP là tứ giác nội tiếp. b) Do BHCP là tứ giác nội tiếp nên  =   (Góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong đỉnh đối diện với nó) Lại có  =    (Hai góc nội tiếp cùng chắn cung AD) ⇒ = + = + = = 90 o Vậy nên AC vuông góc CH. c) Tứ giác CHMA nội tiếp nên  =    (Hai góc nội tiếp cùng chắn cung CH) Lại có  = =    (Hai góc nội tiếp cùng chắn cung CB)