a: Xét ΔSCE và ΔSFC có

góc SCE=góc SFC

góc CSE chung

=>ΔSCE đồng dạng với ΔSFC

=>SC^2=SE*SF

b: ΔOEF cân tại O

mà OI là trung tuyến

nên OI vuông góc FE

góc OIS+góc OBS=180 độ

=>OISB nội tiếp

a: Xét (O) có

AB,DE là các dây

AB//DE

Do đó: sđ cung AE=sđ cung BD

Xét (O) có \(\hat{DIC}\) là góc có đỉnh ở bên trong đường tròn chắn hai cung DC và AE

=>\(\hat{DIC}=\frac12\) (sđ cung DC+sđ cung AE)

=1/2(sđ cung DC+sđ cung BD)

=1/2 sđ cung BC

=>\(\hat{SIC}=\frac12\cdot\) sđ cung BC(1)

Xét (O) có \(\hat{SBC}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến BS và dây cung BC

=>\(\hat{SBC}=\frac12\cdot\) sđ cung BC(2)

Từ (1),(2) suy ra \(\hat{SIC}=\hat{SBC}\)

b: Xét tứ giác SBIC có \(\hat{SBC}=\hat{SIC}\)

nên SBIC là tứ giác nội tiếp

=>S,B,I,C cùng thuộc một đường tròn(3)

Xét tứ giác SBOC có \(\hat{SBO}+\hat{SCO}=90^0+90^0=180^0\)

nên SBOC là tứ giác nội tiếp

=>S,B,O,C cùng thuộc một đường tròn(4)

Từ (3),(4) suy ra S,B,I,C,O cùng thuộc một đường tròn

a.

Ta có \(\widehat{SAD}=\widehat{ACE}\) (góc nội tiếp và góc tiếp tuyến cùng chắn cung AE)

Lại có \(\widehat{ADB}\) là góc có đỉnh nằm trong đường tròn 

\(\Rightarrow\widehat{ADB}=\dfrac{1}{2}\left(sđ\stackrel\frown{AB}+sđ\stackrel\frown{CE}\right)=\widehat{ACB}+\widehat{CAE}\)

Mà \(\widehat{ACB}=\widehat{SAB}\) (cùng chắn cung AB) và \(\widehat{CAE}=\widehat{BAE}\) (do AE là phân giác \(\widehat{BAC}\))

\(\Rightarrow\widehat{ADB}=\widehat{SAB}+\widehat{BAE}=\widehat{SAD}\Rightarrow\Delta SAD\) cân tại S

\(\Rightarrow SA=SD\)

b.

Xét hai tam giác SAB và SCA có:

\(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{ASB}\text{ chung}\\\widehat{SAB}=\widehat{ACB}\left(cmt\right)\end{matrix}\right.\)  \(\Rightarrow\Delta SAB\sim\Delta SCA\left(g.g\right)\)

\(\Rightarrow\dfrac{SA}{SC}=\dfrac{SB}{SA}\Rightarrow SA^2=SB.SC\)

Theo câu a ta có \(SA=SD\)

\(\Rightarrow SD^2=SB.SC\)

Xét tứ giác SOAB có: \(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{SAO}=90^o\\\widehat{SBO}=90^o\end{matrix}\right.\)

=> Tứ giác SOAB nội tiếp (tổng 2 góc đối = 180^o).

=> 4 điểm S, A, O, B cùng thuộc 1 đường tròn.

góc SAO+góc SBO=180 độ

=>SAOB nội tiếp