A(x;y); B(-1;3); C(3;1)

\(\overrightarrow{AB}=\left(-1-x;3-y\right);\overrightarrow{AC}=\left(3-x;1-y\right)\)

ΔABC vuông cân tại A

=>AB=AC và AB⊥AC

=>\(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=0\) và \(\left(-1-x\right)^2+\left(3-y\right)^2=\left(3-x\right)^2+\left(1-y\right)^2\)

=>(-1-x)(3-x)+(3-y)(1-y)=0 và \(x^2+2x+1+y^2-6y+9=x^2-6x+9+y^2-2y+1\)

=>\(\left(x+1\right)\left(x-3\right)+\left(y-3\right)\left(y-1\right)=0\) và 2x-6y+10=-6x-2y+10

=>\(x^2-2x-3+y^2-4y+3=0\) và 8x=4y

=>y=2x và \(x^2-2x+y^2-4y=0\)

=>y=2x và \(x^2-2x+4x^2-4\cdot2x=0\)

=>y=2x và \(5x^2-10x=0\)

=>5x(x-2)=0 và y=2x

=>x∈{0;2} và y=2x

x=0

=>y=2x=0

x=2

=>y=2x=4

=>A(0;0); A(2;4)

a)

Ta có: \(\overrightarrow {AB}  = \left( {2 - 1;4 - 3} \right) = \left( {1;1} \right),\;\overrightarrow {AC}  = \left( { - 3 - 1;2 - 3} \right) = \left( { - 4; - 1} \right)\)

Hai vectơ này không cùng phương (vì \(\frac{1}{{ - 4}} \ne \frac{1}{{ - 1}}\)).

Do đó các điểm A, B, C không cùng nằm trên một đường thẳng.

Vậy A, B, C là ba đỉnh của một tam giác.

b) Trung điểm M của đoạn thẳng AB có tọa độ là \(\left( {\frac{{1 + 2}}{2};\frac{{3 + 4}}{2}} \right) = \left( {\frac{3}{2};\frac{7}{2}} \right)\)

c) Trọng tâm G của tam giác ABC có tọa độ là \(\left( {\frac{{1 + 2 + \left( { - 3} \right)}}{3};\frac{{3 + 4 + 2}}{3}} \right) = \left( {0;3} \right)\)

d) Để O(0; 0) là trọng tâm của tam giác ABD thì \(\left( {0;0} \right) = \left( {\frac{{{x_A} + {x_B} + {x_D}}}{3};\frac{{{y_A} + {y_B} + {y_D}}}{3}} \right)\)

\( \Leftrightarrow \left( {0;0} \right) = \left( {\frac{{1 + 2 + x}}{3};\frac{{3 + 4 + y}}{3}} \right)\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( {0;0} \right) = \left( {1 + 2 + x;3 + 4 + y} \right)\\ \Leftrightarrow \left( {0;0} \right) = \left( {x + 3;y + 7} \right)\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}0 = x + 3\\0 = y + 7\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - 3\\y =  - 7\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy tọa độ điểm D là (-3; -7).

1, Gọi tọa độ điểm D(x;y)

Ta có:\(\overrightarrow{AB}\left(8;1\right)\)

\(\overrightarrow{DC}\left(1-x;5-y\right)\)

Tứ giác ABCD là hình bình hành khi

\(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\)

\(\Leftrightarrow1-x=8;5-y=1\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=-7\\y=4\end{matrix}\right.\)

Vậy tọa độ điểm D(-7;4)

câu 2 tương tự như câu 1 nha bạn

a: Tọa độ trọng tâm là:

x=(1+2+0)/3=1 và y=(3+1+3)/3=7/3

c: \(d\left(A;d\right)=\dfrac{\left|1\cdot1+3\cdot\left(-1\right)+1\right|}{\sqrt{1^2+\left(-1\right)^2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)