Số con cá no tối đa sau khi kết thúc trò chơi là 12 con.

Để đạt được số lượng cá no tối đa, chúng ta cần tối ưu hóa số lượng cá bị ăn sao cho mỗi con cá no tiêu tốn ít tài nguyên nhất, đồng thời tận dụng việc "cá no ăn cá no" để gom gọn số cá lại.

Giả sử có $k$ con cá trở thành cá no.

• Phân tích số lượt ăn:
• • Mỗi con cá no cần ăn đúng 3 con cá khác. Như vậy, tổng số lượt cá bị ăn là $3k$ lượt.
  • Sau mỗi lượt ăn, tổng số cá trong bể giảm đi 1 con.
• Điều kiện kết thúc:
• • Trò chơi kết thúc khi không còn con cá nào đói. Điều này có nghĩa là tất cả những con cá còn lại trong bể đều phải là cá no.
  • Số lượng cá còn lại trong bể chính bằng số cá no: $k$ con.

Từ hai phân tích trên, ta thiết lập phương trình cân bằng số lượng cá:

$$\text{Số cá ban đầu} - \text{Số lượt cá bị ăn} = \text{Số cá còn lại}$$

$$38 - 3k = k$$

$$4k = 38$$

$$k = 9.5$$

Vì số lượng cá no $k$ phải là một số nguyên, nên $k$ không thể đạt bằng 9.5.

• Nếu $k = 9$: Tổng số cá bị ăn là $3 \times 9 = 27$ con. Số cá còn lại trong bể là $38 - 27 = 11$ con. Trong 11 con này, có 9 con no và vẫn còn dư 2 con cá đói. Điều này vi phạm quy tắc trò chơi vì trò chơi chỉ kết thúc khi không còn con cá nào đói. Do đó, 2 con đói này bắt buộc phải bị ăn tiếp hoặc phải ăn để trở thành cá no.
• Để giải quyết 2 con cá đói còn sót lại này, ta bắt buộc phải tăng số lượng cá no lên thành 12 con.

Kịch bản diễn biến chi tiết để đạt 12 con cá no:

• Giai đoạn 1 (Tạo ra 12 con cá no ban đầu):
• • Có 36 con cá đói chia thành 12 nhóm (mỗi nhóm 3 con).
  • 12 con cá đói còn lại sẽ ăn 12 nhóm này (mỗi con ăn 3 con).
  • Kết quả: Tạo ra 12 con cá no. Lúc này trong bể còn: 12 con no + 2 con đói chưa đụng đến = 14 con.
• Giai đoạn 2 (Xử lý các con cá đói còn lại để kết thúc trò chơi):
• • Hiện tại có 2 con cá đói. Để trò chơi kết thúc, 2 con này phải bị ăn.
  • Ta cho 2 con cá đói này ăn thêm 1 con cá đói nữa (lấy từ nguồn khác) thì không đủ (vì cần ăn 3). Do đó, giải pháp duy nhất là biến chúng thành mồi cho các con cá khác.
  • Nhưng các con cá no hiện tại không thể ăn thêm. Vì vậy, ta cần tạo ra các con cá no mới từ chính nguồn cá này.
  • 2 con cá đói này kết hợp với 1 con cá no (đóng vai trò làm mồi) tạo thành một bộ 3 con.
  • 1 con cá no khác sẽ ăn bộ 3 này để duy trì trạng thái no của chính nó (hoặc 1 con cá đói ăn bộ 3 này để trở thành cá no mới).
  • Quá trình "cá no ăn cá no và cá đói" này tiếp diễn cho đến khi toàn bộ các con cá đói ban đầu bị tiêu diệt hoàn toàn, và trong bể chỉ còn lại đúng 12 con cá no ban đầu nhưng dưới hình thức đã gom gọn.

Kết luận: Số lượng cá no tối đa giữ được mạng sống đến cuối trò chơi là 12 con.

Muốn có $1$ con cá no thì cần: $1$ con cá ăn $3$ con cá khác.

Vậy để có $1$ con cá no cần:

$1 + 3 = 4$ (con cá)

Ta tìm số lần nhiều nhất có thể lấy $4$ con trong $38$ con cá:

$38 : 4 = 9$ (dư $2$)

Nghĩa là chỉ tạo được nhiều nhất $9$ con cá no và còn dư $2$ con cá.

Hai con cá còn lại không đủ để tạo thêm một con cá no.

Vậy sau khi kết thúc trò chơi có tối đa $9$ con cá no.