(d')//(d)

=>(d'): 2x+4y+c=0

Khoảng cách từ O đến (d') là:

\(d\left(O;\left(d^{\prime}\right)\right)=\frac{\left|2\cdot0+4\cdot0+c\right|}{\sqrt{2^2+4^2}}=\frac{\left|c\right|}{\sqrt{20}}=\frac{\left|c\right|}{2\sqrt5}\)

Gọi A,B lần lượt là giao điểm của (d') với các trục Ox và Oy

Tọa độ A là:

\(\begin{cases}y=0\\ 2x+c=0\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}y=0\\ x=-\frac{c}{2}\end{cases}\)

=>A(-c/2;0)

Tọa độ B là:

\(\begin{cases}x=0\\ 4y+c=0\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x=0\\ y=-\frac{c}{4}\end{cases}\)

=>B(0;-c/4)

\(AB=\sqrt{\left(0+\frac{c}{2}\right)^2+\left(-\frac{c}{4}-0\right)^2}=\sqrt{\left(\frac{c}{2}\right)^2+\left(\frac{c}{4}\right)^2}=\sqrt{\frac{c^2}{4}+\frac{c^2}{16}}=\sqrt{5\cdot\frac{c^2}{16}}=\left|c\right|\cdot\frac{\sqrt5}{4}\)

\(S_{AOB}=1\)

=>\(\frac12\cdot AB\cdot d\left(O;AB\right)=1\)

=>\(\frac12\cdot\frac{\left|c\right|}{2\sqrt5}\cdot\left|c\right|\cdot\frac{\sqrt5}{4}=1\)

=>\(c^2\cdot\frac{5}{5\cdot16}=1\)

=>\(c^2=16\)

=>c=4 hoặc c=-4

=>(d'): 2x+4y+4=0 hoặc 2x+4y-4=0

a: A(1;2); B(2;1)

=>\(\overrightarrow{AB}=\left(1;-1\right)\)

=>VTPT là (1;1)

Phương trình đường thẳng AB là:

1(x-1)+2(y-1)=0

=>x-1+2y-2=0

=>x+2y-3=0

b:

M(1;3); Δ: 3x+4y+10=0

Khoảng cách từ M đến Δ là:

\(d\left(M;\text{Δ}\right)=\dfrac{\left|1\cdot3+3\cdot4+10\right|}{\sqrt{3^2+4^2}}=\dfrac{\left|3+12+10\right|}{5}=5\)

Đường tròn \((C)\) tâm \(I(a;b)\) bán kính \(R\)có phương trình

\((x-a)^2+(y-b)^2=R^2.\)

\(∆MAB ⊥ M\) \(\rightarrow \) \(AB\) là đường kính suy ra \(∆\) qua \(I\) do đó:

\(a-b+1=0 (1)\)

Hạ \(MH⊥AB\) có \(MH=d(M, ∆)= \dfrac{|2-1+1|}{\sqrt{2}}={\sqrt{2}} \)

\(S_{ΔMAB}=\dfrac{1}{2}MH×AB \Leftrightarrow 2=\dfrac{1}{2}2R\sqrt{2} \)

\(\Rightarrow R = \sqrt{2} \)

Vì đường tròn qua\(M\) nên (\(2-a)^2+(1-b)^2=2 (2)\)

Ta có hệ : 

\(\begin{cases} a-b+1=0\\ (2-a)^2+(1-b)^2=0 \end{cases} \)

Giải hệ \(PT\) ta được: \(a=1;b=2\).

\(\rightarrow \)Vậy \((C) \)có  phương trình:\((x-1)^2+(y-2)^2=2\)

Phương trình đường thẳng d có dạng:

\(y=kx-2k+1\)

Tọa độ A và B có dạng: \(A\left(\dfrac{2k-1}{k};0\right)\) ; \(B\left(0;-2k+1\right)\)

Để A, B nằm trên các tia Ox, Oy \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{2k-1}{k}>0\\-2k+1>0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow k< 0\)

Khi đó ta có: \(S_{OAB}=\dfrac{1}{2}OA.OB=4\Leftrightarrow OA.OB=8\)

\(\Rightarrow\left(\dfrac{2k-1}{k}\right)\left(-2k+1\right)=8\)

\(\Leftrightarrow4k^2-4k+1=-8k\Leftrightarrow4k^2+4k+1=0\Rightarrow k=-\dfrac{1}{2}\)

Phương trình d: \(y=-\dfrac{1}{2}x+2\)