\(T_{\overrightarrow{v}}\left(N\right)=M\Rightarrow\overrightarrow{v}=\overrightarrow{NM}=\left(-5;1\right)\)

\(\Rightarrow2\overrightarrow{v}=\left(-10;2\right)\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_P=-4+-10=-14\\y_P=1+2=3\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow P\left(-14;3\right)\)

a)
Qua phép đối xứng trục Oy điểm \(M\left(1;1\right)\) biến thành điểm \(M'\left(x;y\right)\) có tọa độ là: \(\left\{{}\begin{matrix}x'=-x=-1\\y'=y=1\end{matrix}\right.\).
Suy ra: \(M'\left(-1;1\right)\).
Qua phép tịnh tiến theo véc tơ \(\overrightarrow{v}\left(2;0\right)\) điểm M' biến thành điểm \(A\left(x_A;y_A\right)\) là:\(\left\{{}\begin{matrix}x_A=-1+2=1\\y_A=0+1=1\end{matrix}\right.\).
Suy ra: \(A\left(1;1\right)\equiv M\) là điểm cần tìm.
b) Gọi C là ảnh của điểm M qua phép tịnh tiến theo véc tơ \(\overrightarrow{v}\)
là: \(\left\{{}\begin{matrix}x_C=2+1=3\\y_C=0+1=1\end{matrix}\right.\). Suy ra: \(C\left(3;1\right)\)
\(M''=Đ_{Oy}\left(C\right)\) nên \(\left\{{}\begin{matrix}x_{M''}=-x_C=-3\\y_{M''}=y_C=1\end{matrix}\right.\). Suy ra: \(M''\left(-3;1\right)\).

a) Giả sử A'=(x'; y'). Khi đó \(T_{\overrightarrow{v}}\left(A\right)=A'\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x'=3-1=2\\y'=5+2=7\end{matrix}\right.\)

Do đó: A' = (2;7)

Tương tự B' =(-2;3)

b) Ta có: \(A=T_{\overrightarrow{v}}\left(C\right)\Leftrightarrow C=^T\overrightarrow{-v}\left(A\right)=\left(4;3\right)\)

c) Cách 1. Dùng biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến

Gọi M(x;y), M' = \(^T\overrightarrow{v}\) =(x'; y'). Khi đó x' = x-1, y' = y + 2 hay x = x' +1, y= y' - 2. Ta có M ∈ d ⇔ x-2y +3 = 0 ⇔ (x'+1) - 2(y'-2)+3=0 ⇔ x' -2y' +8=0 ⇔ M' ∈ d' có phương trình x-2y+8=0. Vậy \(^T\overrightarrow{v}\) (d) = d'.

Cách 2. Dùng tính chất của phép tịnh tiến

Gọi \(^T\overrightarrow{v}\)(d) =d'. Khi đó d' song song hoặc trùng với d nên phương trình của nó có dạng x-2y+C=0. Lấy một điểm thuộc d chẳng hạn B(-1;1), khi đó \(^T\overrightarrow{v}\) (B) = (-2;3) thuộc d' nên -2 -2.3 +C =0. Từ đó suy ra C = 8.

a) Giả sử A'=(x'; y'). Khi đó

(A) = A' ⇔

Do đó: A' = (2;7)

Tương tự B' =(-2;3)

b) Ta có A = (C) ⇔ C= (A) = (4;3)

c)Cách 1. Dùng biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến

Gọi M(x;y), M' = =(x'; y'). Khi đó x' = x-1, y' = y + 2 hay x = x' +1, y= y' - 2. Ta có M ∈ d ⇔ x-2y +3 = 0 ⇔ (x'+1) - 2(y'-2)+3=0 ⇔ x' -2y' +8=0 ⇔ M' ∈ d' có phương trình x-2y+8=0. Vậy (d) = d'

Cách 2. Dùng tính chất của phép tịnh tiến

Gọi (d) =d'. Khi đó d' song song hoặc trùng với d nên phương trình của nó có dạng x-2y+C=0. Lấy một điểm thuộc d chẳng hạn B(-1;1), khi đó (B) = (-2;3) thuộc d' nên -2 -2.3 +C =0. Từ đó suy ra C = 8

Câu 1:

Lấy $M(x,y)\in (d)$. $M'(x',y')=T_{\overrightarrow{v}}(M)$

\(\left\{\begin{matrix} x'-x=2\\ y'-y=-1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=x'-2\\ y=y'+1\end{matrix}\right.\)

Ảnh của $d$ qua phép tịnh tiến theo vecto $\overrightarrow{v}$ có dạng:

$3(x'-2)-2(y'+1)+1=0$

$\Leftrightarrow 3x'-2y'-7=0$

Câu 2:

$M(x,y)$ là 1 điểm thuộc đường tròn $(C)$.

Lấy $M'(x',y')$ là 1 điểm thuộc $(C')$ là ảnh của $(C)$ qua $\overrightarrow{v}$

Khi đó, $M'=T_{\overrightarrow{v}}(M)

\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x'-x=-3\\ y'-y=5\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=x'+3\\ y=y'-5\end{matrix}\right.\)

PTĐTr $(C')$ có dạng:

$(x'+3)^2+(y'-5)^2-4(x'+3)+6(y'-5)+5=0$

$\Leftrightarrow x'^2+y'^2+2x'-4y'-3=0$

.

1: Tọa độ điểm M'(x;y) là ảnh của M(4;-3) qua phép tịnh tiến theo \(\overrightarrow{u}=\left(-2;1\right)\) là:

x=4+(-2)=2 và y=-3+1=-2

=>M'(2;-2)

2: M(4;-3) là ảnh của A(x;y) qua phép tịnh tiến theo \(\overrightarrow{u}=\left(-2;1\right)\)

=>x+(-2)=4 và y+1=-3

=>x=6 và y=-4

=>A(6;-4)

3: d' là ảnh của (d): 3x-4y+5=0 qua phép tịnh tiến theo \(\overrightarrow{u}=\left(-2;1\right)\)

=>(d')//(d)

=>(d'): 3x-4y+c=0

Lấy B(1;2) thuộc (d)

Tọa độ B'(x;y) là ảnh của B(1;2) qua phép tịnh tiến theo \(\overrightarrow{u}=\left(-2;1\right)\) là:

x=1+(-2)=-1 và y=2+1=3

Thay x=-1 và y=3 vào (d'), ta được:

\(3\cdot\left(-1\right)-4\cdot3+c=0\)

=>c-15=0

=>c=15

=>(d'): 3x-4y+15=0

5: (d5) là ảnh của (d4): x+2y+9=0 qua phép tịnh tiến theo \(\overrightarrow{u}=\left(-2;1\right)\)

=>(d5)//(d4)

=>(d5): x+2y+c=0, c<>9

Lấy N(1;-5) thuộc (d4)

Tọa độ N'(x;y) là ảnh của N(1;-5) qua phép tịnh tiến theo \(\overrightarrow{u}=\left(-2;1\right)\) là:

x=1+(-2)=-1 và y=-5+1=-4

Thay x=-1 và y=-4 vào (d5), ta được:

-1+2*(-4)+c=0

=>c-9=0

=>c=9(loại)

=>Không có đường thẳng (d5) tồn tại

6: (C): \(x^2+y^2-4x+6y-7=0\)

=>\(x^2-4x+4+y^2+6y+9=20\)

=>\(\left(x-2\right)^2+\left(y+3\right)^2=20\)

=>Tâm là I(2;-3) và bán kính là \(R=\sqrt{20}=2\sqrt5\)

Gọi (C') là ảnh của (C) qua phép tịnh tiến theo \(\overrightarrow{u}=\left(-2;1\right)\)

Tọa độ tâm I'(x;y) của (C') là:

x=2+(-2)=0 và y=-3+1=-2

Phương trình (C') là:

\(\left(x-0\right)^2+\left(y+2\right)^2=R^2\)

=>\(x^2+\left(y+2\right)^2=20\)

Lấy \(A\left(0;-1\right)\) là 1 điểm thuộc d

Gọi A' là ảnh của A qua phép tịnh tiến \(\overrightarrow{v}\Rightarrow A'\left(1;m-1\right)\)

\(A'\in d'\Rightarrow1+m-1-2=0\Rightarrow m=2\)

c) Đường thẳng d có vecto pháp tuyến là n→(1;-2) nên 1 vecto chỉ phương của d là(2; 1)

=> Vecto v→ không cùng phương với vecto chỉ phương của đường thẳng d

=> Qua phép tịnh tiến v→ biến đường thẳng d thành đường thẳng d’ song song với d.

Nên đường thẳng d’ có dạng : x- 2y + m= 0

Lại có B(-1; 1) d nên B’(-2;3) d’

Thay tọa độ điểm B’ vào phương trình d’ ta được:

-2 -2.3 +m =0 ⇔ m= 8

Vậy phương trình đường thẳng d’ là:x- 2y + 8 = 0

Tọa độ đỉnh của \(\left(P\right)\) là \(A\left(-3;-10\right)\)

Gọi A' là đỉnh của (P') thì A' là ảnh của A qua phép tịnh tiến \(\overrightarrow{v}\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_{A'}=-3-3=-6\\y_{A'}=-1-10=-11\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow A'\left(-6;-11\right)\)