Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C): $x^2+y^2-2x-6y+6=0$. Đường thẳng (d) đi qua M(2;3) cắt (C) tại hai điểm A, B. Tiếp tuyến của đường tròn tại A và cắt nhau tại E. Biết $S_{AEB}=\frac{32}{5}$và phương trình đường thẳng (d) có dạng $ax-y+c=0$ với $a,c\in \mathrm{\mathbb{Z}}, a>0$. Khi đó $a+2c$bằng:

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn $\left(C\right): {\left(x+1\right)}^2+{\left(y-2\right)}^2=9$ và điểm $I\left(-3;3\right)$. Đường thẳng $∆:ax+b+c=0$ đi qua điểm I và cắt đường tròn (C) tại hai điểm A và B. Tiếp tuyến của A và B cắt nhau tại M. Biết điểm M thuộc đường thẳng $x+3y-4=0$. Tính $P=\frac{2a+3b}{c}$  

Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng d có phương trình x+y-1=0 và đường tròn (C): $(x-3{)}^2+(y-1{)}^2=1$. Ảnh của đường thẳng d qua phép tịnh tiến theo véc tơ $\stackrel{\to }{v}=\left(4;0\right)$ cắt đường tròn (C) tại hai điểm $A\left(x_1;y_1\right)$  và  $B\left(x_2;y_2\right)$. Giá trị  $x_1+x_2$ bằng

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A(9,0) và đường tròn (C): $(\mathrm{x}-2{)}^2+(\mathrm{y}-1{)}^2=25$. Gọi ∆1;∆2 là hai tiếp tuyến của (C) đi qua A. Tính tổng khoảng cách từ O đến hai đường thẳng  ∆1;∆2.

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng $\left(P\right): x+3y-2z+2=0$ và đường thẳng $d:\frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{-1}=\frac{z-4}{1}$. Đường thẳng qua A(1;2;-1) và cắt (P), d lần lượt tại B, $C\left(a;b;c\right)$ sao cho C là trung điểm của AB. Tổng  $a+b+c$ bằng

Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P):x+3y-2z+2=0 và đường thẳng d: $\frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{-1}=\frac{z-4}{1}$. Đường thẳng qua A(1;2;-1) và cắt (P), d lần lượt tại B và C(a;b;c) sao cho C là trung điểm của AB. Giá trị của biểu thức a+b+c bằng

Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(2;-1;-1),B(4;-5;-5) và mặt phẳng (P):x+y+z-3=0. Mặt cầu (S) thay đổi qua hai điểm A,B và cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến là đường tròn (C) có tâm H và bán kính bằng 3. Biết rằng H luôn thuộc một đường tròn cố định. Tìm bán kính của đường tròn đó.

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn (C) có tâm I(1;-1) và bán kính R=5. Biết rằng đường thẳng  $\left(d\right): 3x-4y+8=0$ cắt đường tròn (C) tại hai điểm phân biệt A, B. Tính độ dài đoạn thẳng AB

Trong không gian Oxyz cho mặt cầu (S): $(\mathrm{x}-1{)}^2+(\mathrm{y}+2{)}^2+(\mathrm{z}-3{)}^2=27$. Gọi  $\left(\alpha \right)$ là mặt phẳng đi qua hai điểm A(0;0;-4), B(2;0;0) và cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn (C) sao cho khối nón có đỉnh là tâm của (S), đáy là (C) có thể tích lớn nhất. Biết mặt phẳng  $\left(\alpha \right)$ có phương trình dạng ax+by-z+c= 0, khi đó a-b+c bằng: