a: \(T_{\overrightarrow{v}}\left(M\right)=M^{\prime}\)

=>\(\overrightarrow{MM^{\prime}}=\overrightarrow{v}\)

=>x-1=-3 và y-(-4)=1

=>x=-2 và y=1-4=-3

=>M'(-2;-3)

b: d' là ảnh của (d) qua phép tịnh tiến theo \(\overrightarrow{v}=\left(-3;1\right)\)

=>(d')//(d)

=>(d'): 3x-2y+c=0

Lấy A(1;2) thuộc (d)

Lấy B(x;y) là ảnh của A(1;2) qua phép tịnh tiến theo \(\overrightarrow{v}=\left(-3;1\right)\)

Tọa độ B là:

x=1-3=-2 và y=2+1=3

Thay x=-2 và y=3 vào (d'), ta được:

3*(-2)-2*3+c=0

=>-6-6+c=0

=>c=12

=>(d'): 3x-2y+12=0

(C): \(\left(x+3\right)^2+\left(y-1\right)^2=5\)

=>tâm là I(-3;1); Bán kính là \(R=\sqrt5\)

Gọi (C1) là ảnh của (C) qua phép tịnh tiến theo \(\overrightarrow{v}=\left(-3;1\right)\)

=>\(R_1=R=\sqrt5\)

Tọa độ tâm của (C1) là:

\(\begin{cases}x=\left(-3\right)+\left(-3\right)=-6\\ y=1+1=2\end{cases}\)

Phương trình (C1) là:

\(\left(x+6\right)^2+\left(y-2\right)^2=R^2=5\)

=>tâm là A(-6;2); bán kính là \(R_1=\sqrt5\)

(C') là ảnh của (C1) qua phép vị tự tâm O, tỉ số k=2

Gọi B(x;y) là ảnh của A(-6;2) qua phép vị tự tâm O, tỉ số k=2

=>\(\overrightarrow{OB}=2\cdot\overrightarrow{OA}\)

=>x=2*(-6)=-12 và y=2*2=4

Bán kính là \(R_2=2\cdot R_1=2\sqrt5\)

Phương trình (C') là:

\(\left(x+12\right)^2+\left(y-4\right)^2=\left(R^{\prime}\right)^2=20\)

a: Gọi A(x;y) là ảnh của M(1;-2) qua phép đối xứng tâm I(-3;1)

=>I là trung điểm của AM

=>\(\begin{cases}x+1=2\cdot\left(-3\right)=-6\\ y-2=2\cdot1=2\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x=-7\\ y=4\end{cases}\)

=>A(-7;4)

b: Gọi (d): ax+by+c=0 là ảnh của Δ: 2x+y-1=0 qua phép đối xứng tâm I(-3;1)

Lấy A(x;y) thuộc (d)

Gọi B(x';y') là ảnh của A(x;y) qua phép đối xứng tâm I(-3;1)

=>I là trung điểm của AB

=>\(\begin{cases}x^{\prime}+x=2\cdot\left(-3\right)=-6\\ y^{\prime}+y=2\cdot1=2\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x=-6-x^{\prime}\\ y=2-y^{\prime}\end{cases}\)

Thay x=-6-x' và y=2-y' vào Δ, ta được:

2(-6-x')+(2-y')-1=0

=>-12-2x'+2-y'-1=0

=>-2x'-y'-11=0

=>(d): 2x+y+11=0

c: (C): \(\left(x-2\right)^2+\left(y+3\right)^2=9\)

=>Tâm là A(2;-3) và bán kính là R=3
Gọi A'(x;y) là ảnh của A(2;-3) qua phép đối xứng tâm I(-3;1)

=>I là trung điểm của A'A

=>x+2=2*(-3)=-6 và y+(-3)=2*1=2

=>x=-8 và y=5

Phương trình (C') là ảnh của (C) qua phép đối xứng tâm I(-3;1) là:

\(\left\lbrack x-\left(-8\right)\right\rbrack^2+\left(y-5\right)^2=R^2\)

=>\(\left(x+8\right)^2+\left(y-5\right)^2=9\)

a) Ta có: \(\left( C \right):{x^2} + {y^2} = 1 \Leftrightarrow y =  \pm \sqrt {1 - {x^2}} \).

Độ dài \(OM\) chính là giá trị tuyệt đối của hoành độ của điểm \(M\). Vậy \(OM = \left| x \right|\).

Độ dài \(MN\) chính là giá trị tuyệt đối của tung độ của điểm \(N\). Vậy \(MN = \left| {\sqrt {1 - {x^2}} } \right| = \sqrt {1 - {x^2}} \).

\(S\left( x \right) = {S_{ONP}} = \frac{1}{2}.NP.OM = MN.OM = \sqrt {1 - {x^2}} .\left| x \right|\).

b) Xét hàm số  \(S\left( x \right) = \sqrt {1 - {x^2}} .\left| x \right| = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x\sqrt {1 - {x^2}} }&{khi\,\,0 \le x \le 1}\\{ - x\sqrt {1 - {x^2}} }&{khi\,\, - 1 \le x < 0}\end{array}} \right.\).

ĐKXĐ: \(1 - {x^2} \ge 0 \Leftrightarrow  - 1 \le x \le 1\)

Hàm số \(S\left( x \right)\) có tập xác định là \(\left[ { - 1;1} \right]\).

Vậy hàm số \(S\left( x \right)\) xác định trên các khoảng \(\left( { - 1;0} \right)\) và \(\left( {0;1} \right)\) nên liên tục trên các khoảng \(\left( { - 1;0} \right)\) và \(\left( {0;1} \right)\).

Ta có: \(S\left( 0 \right) = 0.\sqrt {1 - {0^2}}  = 0\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} S\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \left( {x\sqrt {1 - {x^2}} } \right) = 0.\sqrt {1 - {0^2}}  = 0\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} S\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \left( { - x\sqrt {1 - {x^2}} } \right) =  - 0.\sqrt {1 - {0^2}}  = 0\)

Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} S\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} S\left( x \right) = 0\) nên \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} S\left( x \right) = 0 = S\left( 0 \right)\)

Vậy hàm số \(S\left( x \right)\) liên tục tại điểm \({x_0} = 0\). Vậy hàm số \(S\left( x \right)\) liên tục trên \(\left( { - 1;1} \right)\).

c) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} S\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( {x\sqrt {1 - {x^2}} } \right) = 1.\sqrt {1 - {1^2}}  = 0\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ + }} S\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ + }} \left( { - x\sqrt {1 - {x^2}} } \right) =  - 1.\sqrt {1 - {{\left( { - 1} \right)}^2}}  = 0\)

Gọi vecto tịnh tiến có dạng \(\overrightarrow{v}=\left(a;0\right)\)

\(M\left(0;-1\right)\) là 1 điểm thuộc d

M' là ảnh của M qua phép tịnh tiến \(\overrightarrow{v}\Rightarrow M'\in d'\)

\(\left\{{}\begin{matrix}x_{M'}=0+a=a\\y_{M'}=-1+0=-1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow M'\left(a;-1\right)\)

Thay vào pt d':

\(a-1-1=0\Leftrightarrow a=2\)

Vậy \(\overrightarrow{v}=\left(2;0\right)\)