(C): \(\left(x+3\right)^2+\left(y-1\right)^2=5\)

=>tâm là I(-3;1); Bán kính là \(R=\sqrt5\)

Gọi (C1) là ảnh của (C) qua phép tịnh tiến theo \(\overrightarrow{v}=\left(-3;1\right)\)

=>\(R_1=R=\sqrt5\)

Tọa độ tâm của (C1) là:

\(\begin{cases}x=\left(-3\right)+\left(-3\right)=-6\\ y=1+1=2\end{cases}\)

Phương trình (C1) là:

\(\left(x+6\right)^2+\left(y-2\right)^2=R^2=5\)

=>tâm là A(-6;2); bán kính là \(R_1=\sqrt5\)

(C') là ảnh của (C1) qua phép vị tự tâm O, tỉ số k=2

Gọi B(x;y) là ảnh của A(-6;2) qua phép vị tự tâm O, tỉ số k=2

=>\(\overrightarrow{OB}=2\cdot\overrightarrow{OA}\)

=>x=2*(-6)=-12 và y=2*2=4

Bán kính là \(R_2=2\cdot R_1=2\sqrt5\)

Phương trình (C') là:

\(\left(x+12\right)^2+\left(y-4\right)^2=\left(R^{\prime}\right)^2=20\)

a) Ta có: \(\left( C \right):{x^2} + {y^2} = 1 \Leftrightarrow y =  \pm \sqrt {1 - {x^2}} \).

Độ dài \(OM\) chính là giá trị tuyệt đối của hoành độ của điểm \(M\). Vậy \(OM = \left| x \right|\).

Độ dài \(MN\) chính là giá trị tuyệt đối của tung độ của điểm \(N\). Vậy \(MN = \left| {\sqrt {1 - {x^2}} } \right| = \sqrt {1 - {x^2}} \).

\(S\left( x \right) = {S_{ONP}} = \frac{1}{2}.NP.OM = MN.OM = \sqrt {1 - {x^2}} .\left| x \right|\).

b) Xét hàm số  \(S\left( x \right) = \sqrt {1 - {x^2}} .\left| x \right| = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x\sqrt {1 - {x^2}} }&{khi\,\,0 \le x \le 1}\\{ - x\sqrt {1 - {x^2}} }&{khi\,\, - 1 \le x < 0}\end{array}} \right.\).

ĐKXĐ: \(1 - {x^2} \ge 0 \Leftrightarrow  - 1 \le x \le 1\)

Hàm số \(S\left( x \right)\) có tập xác định là \(\left[ { - 1;1} \right]\).

Vậy hàm số \(S\left( x \right)\) xác định trên các khoảng \(\left( { - 1;0} \right)\) và \(\left( {0;1} \right)\) nên liên tục trên các khoảng \(\left( { - 1;0} \right)\) và \(\left( {0;1} \right)\).

Ta có: \(S\left( 0 \right) = 0.\sqrt {1 - {0^2}}  = 0\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} S\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \left( {x\sqrt {1 - {x^2}} } \right) = 0.\sqrt {1 - {0^2}}  = 0\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} S\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \left( { - x\sqrt {1 - {x^2}} } \right) =  - 0.\sqrt {1 - {0^2}}  = 0\)

Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} S\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} S\left( x \right) = 0\) nên \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} S\left( x \right) = 0 = S\left( 0 \right)\)

Vậy hàm số \(S\left( x \right)\) liên tục tại điểm \({x_0} = 0\). Vậy hàm số \(S\left( x \right)\) liên tục trên \(\left( { - 1;1} \right)\).

c) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} S\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( {x\sqrt {1 - {x^2}} } \right) = 1.\sqrt {1 - {1^2}}  = 0\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ + }} S\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ + }} \left( { - x\sqrt {1 - {x^2}} } \right) =  - 1.\sqrt {1 - {{\left( { - 1} \right)}^2}}  = 0\)

Gọi vecto tịnh tiến có dạng \(\overrightarrow{v}=\left(a;0\right)\)

\(M\left(0;-1\right)\) là 1 điểm thuộc d

M' là ảnh của M qua phép tịnh tiến \(\overrightarrow{v}\Rightarrow M'\in d'\)

\(\left\{{}\begin{matrix}x_{M'}=0+a=a\\y_{M'}=-1+0=-1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow M'\left(a;-1\right)\)

Thay vào pt d':

\(a-1-1=0\Leftrightarrow a=2\)

Vậy \(\overrightarrow{v}=\left(2;0\right)\)

thầy ơi cho em hỏi vì sao vecto v lại biết đc số 0 là y v thầy