a: A(-3;2); B(1;-3); C(2;-5)

\(\overrightarrow{AB}=\left(1+3;-3-2\right)=\left(4;-5\right)\) ; \(\overrightarrow{AC}=\left(2+3;-5-2\right)=\left(5;-7\right)\)

\(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=4\cdot5+\left(-5\right)\cdot\left(-7\right)=20+35=55\)

b: B(1;-3); C(2;-5)

=>\(\overrightarrow{BC}=\left(2-1;-5+3\right)=\left(1;-2\right)\)

=>Vecto pháp tuyến là (2;1)

Phương trình tổng quát BC là:

2(x-1)+1(y+3)=0

=>2x-2+y+3=0

=>2x+y+1=0

c: A(-3;2); BC: 2x+y+1=0

Khoảng cách từ A đến BC là:

\(d\left(A;BC\right)=\frac{\left|-3\cdot2+2\cdot1+1\right|}{\sqrt{2^2+1^2}}=\frac{\left|-6+3\right|}{\sqrt5}=\frac{3}{\sqrt5}\)

d: A(-3;2); B(1;-3)

\(AB^2=\left(1+3\right)^2+\left(-3-2\right)^2=4^2+5^2=41\)

Phương trình đường tròn tâm A, bán kính AB là:

\(\left(x+3\right)^2+\left(y-2\right)^2=AB^2=41\)

Làm hơi lộn xộn tí, ráng nhìn :v

Lời giải:

1.

$\overrightarrow{BC}=(2,4)\Rightarrow \overrightarrow{n_{BC}}=(-4,2)$

PTĐT chứa cạnh $BC$ là:

$-4(x-x_B)+2(y-y_B)=0\Leftrightarrow -2(x-4)+(y-3)=0$

$\Leftrightarrow -2x+y+5=0$

PT đường cao $AH$ nhận $\overrightarrow{BC}=(2,4)$ là vecto pháp tuyến nên có dạng:

$2(x-x_A)+4(y-y_A)=0$

$\Leftrightarrow x-2+2(y-1)=0\Leftrightarrow x+2y-4=0$

2.

Tọa độ điểm $G$:

$x_G=\frac{x_A+x_B+x_C}{3}=4$

$y_G=\frac{y_A+y_B+y_C}{3}=\frac{11}{3}$

Do $(G)$ tiếp xúc với $BC$ nên $R=d(G,BC)$

Có: $d(G,BC)=\frac{|-2x_G+y_G+5|}{\sqrt{(-2)^2+1^2}}=\frac{2\sqrt{5}}{15}$

Vậy PTĐTr cần tìm là: $(x-4)^2+(y-\frac{11}{3})^2=\frac{4}{45}$

a: A(2;-3); B(-1;2)

=>\(\overrightarrow{AB}=\left(-1-2;2+3\right)=\left(-3;5\right)\)

Phương trình tham số của đường thẳng AB là:

\(\begin{cases}x=2-3t\\ y=-3+5t\end{cases}\)

A(2;-3); C(1;-4)

=>\(\overrightarrow{AC}=\left(1-2;-4+3\right)=\left(-1;-1\right)\)

Phương trình tham số của đường thẳng AC là:

\(\begin{cases}x=2+\left(-1\right)\cdot t=2-t\\ y=-3+\left(-1\right)\cdot t=-3-t\end{cases}\)

B(-1;2); C(1;-4)

=>\(\overrightarrow{BC}=\left(1+1;-4-2\right)=\left(2;-6\right)\)

Phương trình tham số của đường thẳng BC là:

\(\begin{cases}x=-1+2t\\ y=2-6t\end{cases}\)

b: A(2;-3); \(\overrightarrow{BC}=\left(2;-6\right)=\left(1;-3\right)\)

Vì AH là đường cao

nên AH sẽ đi qua A(2;-3) và nhận \(\overrightarrow{BC}=\left(1;-3\right)\) làm vecto pháp tuyến

Phương trình đường BC là:

1(x-2)+(-3)(y+3)=0

=>x-2-3y-9=0

=>x-3y-11=0

c: O(0;0); B(-1;2)

\(OB^2=\left(-1-0\right)^2+\left(2-0\right)^2=5\)

Phương trình đường tròn tâm O, đi qua B(-1;2) là:

\(\left(x-0\right)^2+\left(y-0\right)^2=OB^2\)

=>\(x^2+y^2=5\)