a: Tọa độ A'(x;y) là ảnh của A(2;-3) qua phép quay tâm O, góc quay 90 độ là:

\(\begin{cases}x_{A^{\prime}}=-y_{A}=-\left(-3\right)=3\\ y_{A^{\prime}}=x_{A}=2\end{cases}\)

=>A'(3;2)

Gọi (d1): ax+by+c=0 là ảnh của (d): 2x+y-1=0 qua phép quay tâm O, góc quay 90 độ

=>(d1)⊥(d)

=>(d1): x-2y+c=0

Lấy B(1;-1) thuộc (d)

Tọa độ B'(x;y) là ảnh của B(1;-1) qua phép quay tâm O, góc quay 90 độ là:

\(\begin{cases}x_{B^{\prime}}=-y_{B}=1\\ y_{B^{\prime}}=x_{B}=1\end{cases}\)

Thay x=1 và y=1 vào (d1), ta được:

1-2*1+c=0

=>c-1=0

=>c=1

=>(d1): x-2y+1=0

b: Gọi (d2): ax+by+c=0 là ảnh của (d): 2x+y-1=0 qua phép quay tâm A, góc quay 90 độ

=>(d2)⊥(d)

=>(d2): x-2y+c=0

Lấy B(0;1) thuộc (d)

Tọa độ B'(x;y) là ảnh của B(0;1) qua phép quay tâm A(2;-3), góc quay 90 độ là:

\(\begin{cases}x=2+\left(0-2\right)\cdot cos90-\left(1+3\right)\cdot\sin90=-2\\ y=-3+\left(0-2\right)\cdot\sin90+\left(1+3\right)\cdot cos90=-5\end{cases}\)

Thay x=-2 và y=-5 vào (d2), ta được:

-2-2*(-5)+c=0

=>-2+10+c=0

=>c+8=0

=>c=-8

=>(d2): x-2y-8=0

a: Gọi M' là ảnh của M(3;5) qua phép tịnh tiến theo \(\overrightarrow{u}=\left(2;1\right)\)

Tọa độ M' là: \(\begin{cases}x_{M^{\prime}}=3+2=5\\ y_{M^{\prime}}=5+1=6\end{cases}\)

=>M'(5;6)

Gọi d' là ảnh của (d) qua phép tịnh tiến theo \(\overrightarrow{u}=\left(2;1\right)\)

(d') là ảnh của (d) qua phép tịnh tiến theo \(\overrightarrow{u}=\left(2;1\right)\)

=>(d'): 3x+2y+c=0

Lấy A(2;-1) thuộc (d)

=>ảnh A'(x;y) của A(2;-1) qua phép tịnh tiến theo vecto u=(2;1) sẽ thuộc (d')

Tọa độ ảnh A' là:

\(\begin{cases}x=2+2=4\\ y=-1+1=0\end{cases}\)

Thay x=4 và y=0 vào (d'), ta được:

3*4+2*0+c=0

=>c+12=0

=>c=-12

=>(d'): 3x+2y-12=0

b: (C): \(x^2+y^2-2x+4y-4=0\)

=>\(x^2-2x+1+y^2+4y+4-9=0\)

=>\(\left(x-1\right)^2+\left(y+2\right)^2=9\)

=>Bán kính là R=3; tâm là I(1;-2)

Tọa độ tâm I' của (C') là:

\(\begin{cases}x_{I^{\prime}}=-y_{I}=2\\ y_{I^{\prime}}=x_{I}=1\end{cases}\)

=>I'(2;1)

(C') là ảnh của (C) qua phép quay tâm O, góc quay 90 độ

=>R'=R=3

Phương trình (C') là:

\(\left(x-2\right)^2+\left(y-1\right)^2=\left(R^{\prime}\right)^2=3^2=9\)

Tọa độ A'(x;y) là ảnh của A(3;-1) qua phép quay tâm O, góc quay -90 độ là:

\(\begin{cases}x=y_{A}=\left(-1\right)\\ y=-x_{A}=-3\end{cases}\)

=>A'(-1;-3)

Gọi (d1): ax+by+c=0 là ảnh của (d) qua phép quay tâm O, góc quay -90 độ

=>(d1)⊥(d)

=>(d1): x-y+c=0

lấy B(2;-1) thuộc (d)

Lấy B'(x;y) là ảnh của B(2;-1) qua phép quay tâm O, góc quay -90 độ

=>\(\begin{cases}x=y_{B}=-1\\ y=-x_{B}=-2\end{cases}\)

Thay x=-1 và y=-2 vào (d1), ta được:

-1-(-2)+c=0

=>-1+2+c=0

=>c+1=0

=>c=-1

=>(d1): x-y-1=0

(C): \(x^2+y^2+2x-3y-1=0\)

=>\(x^2+2x+1+y^2-3y+\frac94-\frac{13}{4}-1=0\)

=>\(\left(x+1\right)^2+\left(y-\frac32\right)^2=\frac{17}{4}\)

=>Tâm là I(-1;3/2); bán kính là \(R=\sqrt{\frac{17}{4}}=\frac{\sqrt{17}}{2}\)

Gọi (C') là ảnh của (C) qua phép quay tâm O, góc quay -90 độ là:

Gọi I' là tâm của (C')

=>I'(x;y) là ảnh của I(-1;3/2) qua phép quay tâm O, góc quay -90 độ

Tọa độ I' là:

\(\begin{cases}x=-y_{I}=-\frac32\\ y=x_{I}=-1\end{cases}\)

Phương trình (C') là:

\(\left(x+\frac32\right)^2+\left(y+1\right)^2=R^2=\frac{17}{4}\)

Gọi (d') là ảnh của (d): x-3y+11=0 qua phép quay tâm O, góc quay -90 độ

=>(d')⊥(d)

=>(d'): 3x+y+c=0

Lấy A(1;4) thuộc (d)

Tọa độ B(x;y) là ảnh của A(1;4) qua phép quay tâm O, góc quay -90 độ là:

\(\begin{cases}x_{B}=y_{A}=4\\ y_{B}=-x_{A}=-1\end{cases}\)

Thay x=4 và y=-1 vào (d'), ta được:

3*4+(-1)+c=0

=>c+11=0

=>c=-11

=>(d'): 3x+y-11=0

* Ta có A(2; 0) thuộc tia Ox.

Gọi Q(O,90º) (A) = B thì B thuộc tia Oy và OA = OB nên B(0 ; 2).

* Gọi d’ là ảnh của d qua phép quay tâm O, góc quay 90º.

+ A(2 ; 0) ∈ (d)

⇒ B = Q(O,90º) (A) ∈ (d’)

+ B(0 ; 2) ∈ (d).

⇒ C = Q(O,90º) (B) ∈ (d’).

Dễ dàng nhận thấy C(-2; 0) (hình vẽ).

⇒ (d’) chính là đường thẳng BC.

Đường thẳng d’ đi qua B(0 ; 2) và C(-2; 0) nên có phương trình đoạn chắn là: