Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $M(1;-5;3)$, đường thẳng $d:$ $\dfrac{x+2}{3} = \dfrac{y-5}{-5} = \dfrac{z-2}{-1}$ và mặt phẳng $(P):$ $2x + z - 2 = 0$. Phương trình đường thẳng $\Delta$ qua $M$ vuông góc với $d$ và song song với $(P)$ là

Biết rằng $\widehat{MNP}=180^o$ , chọn tất cả các khẳng định đúng dưới đây:

1=

 $f\left(x\right)$ đồng biến trên $K$ $\Leftrightarrow\dfrac{f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)}{x_2-x_1}>0,\forall x_1,x_2\in K$ ($x_1\ne x_2$);

    $f\left(x\right)$ nghịch biến trên $K$   ​$\Leftrightarrow\dfrac{f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)}{x_2-x_1}< 0,\forall x_1,x_2\in K$​ ($x_1\ne x_2$).

b) Nếu hàm số đồng biến trên K thì đồ thị đi lên từ trái sang phải (hình a);

    Nếu hàm số nghịch biến trên K thì đồ thị đi xuống từ trái sang phải (hình b).

2) Tính đơn điệu và dấu của đạo hàm

Định lý: Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ có đạo hàm trên K.

a) Nếu $f'\left(x\right)>0$ với mọi $x$ thuộc K thì hàm số $f\left(x\right)$ đồng biến trên K.

b) Nếu $f'\left(x\right)< 0$ với mọi $x$ thuộc K thì hàm số nghịch biến trên K.

Định lý mở rộng: Giả sử hàm số $y=f\left(x\right)$ có đạo hàm trên K. Nếu $f'\left(x\right)\ge0$ (hoặc $f'\left(x\right)\le0$), $\forall x\in K$ và $f'\left(x\right)=0$ chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) trên K.

Ví dụ: hàm số $y=2x^3+6x^2+6x-7$ có đạo hàm $y'=6x^2+12x+6=6\left(x+1\right)^2\ge0,\forall x\in\mathbb{R}$. Vậy hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$.

II. Qui tắc xét tính đơn điệu của hàm số

Qui tắc:

1. Tìm tập xác định

2. Tính đạo $f'\left(x\right)$. Tìm các điểm $x_1,x_2,...,x_n$ mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định.

3. Sắp xếp các điểm $x_1,x_2,...,x_n$ theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên.

4. Rút ra kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

Tìm các đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y=\frac{6x -8}{3x -9}$.

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $(\alpha):$ $5x - 3y + 7z + 4 = 0$ và điểm $M(9;-7;-4)$. Phương trình mặt phẳng đi qua $M$ và song song với $(\alpha)$ là

Cho đồ thị hàm số $y=\cos x$ như hình vẽ sau:

Hàm số giảm trong khoảng nào dưới đây?

1. Nhận diện tập hợp điểm

• Tập hợp điểm là đường thẳng

Nếu biểu thức có dạng $|z - a - bi| = |z - c - di|$ thì tập hợp điểm biểu diễn $z$ là đường thẳng $Ax + By + C = 0$, chính là trung trực đoạn thẳng $AB$ với $A(a , b)$ và $B(c, d)$.

• Tập hợp điểm là đường tròn

+ Nếu biểu thức có dạng $|z - a - bi| = r$ thì tập hợp điểm biểu diễn $z$ là đường tròn $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$, hay $x^2 + y^2 - 2ax - 2by + c = 0$.

+ Nếu $(x - a)^2 + (y - b)^2 \le r^2$ hay $|z - a - bi| \le r$ thì tập hợp điểm biểu diễn $z$ là hình tròn tâm $I$, bán kính $r$.

+ Nếu $r^2 \le (x - a)^2 + (y - b)^2 \le R^2$ hay $r \le |z - a - bi| \le R$ thì tập hợp điểm biểu diễn $z$ là hình vành khăn giới hạn bởi hai đường tròn cùng tâm $I$, bán kính là $r$ và $R$.

• Tập hợp điểm là parabol

Parabol $(P)$ tâm $I\left(-\dfrac b{2a}; -\dfrac{\Delta}{4a}\right)$ có phương trình dạng $y = ax^2 + bx + c$, với $c \ne 0$.

• Tập hợp điểm là elip

Nếu biểu thức có dạng $|z - a_1 - b_1i|+|z - a_2 - b_2i| = 2a$ thì tập hợp điểm là: 

+ Đoạn thẳng $AB$ nếu $2a = AB$.

+ Elip nếu $2a>AB$, với $A(a_1;b_1)$ và $B(a_2;b_2)$. Và dạng phương trình elip là $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$, với $a>b>0$.

2. Tổng quát

+ Tập hợp điểm biểu diễn số phức $w = f(z)$ biết điều kiện số phức $z$

Rút $z$ theo $w$ rồi sử dụng điều kiện của $z$ tìm tập hợp hợp điểm.

+ Đặc biệt, điều kiện dạng $|z| = a$ hay $|z + b| = a$ thì lấy mô đun hai vế.

I. Khái niệm cực đại, cực tiểu

Định nghĩa: Hàm số $y=f\left(x\right)$ xác định và liên tục trên khoảng $\left(a;b\right)$ (có thể a là $-\infty$, b là $+\infty$ ) và điểm $x_0\in\left(a;b\right)$.

a) Nếu tồn tại số $h>0$ sao cho $f\left(x\right)< f\left(x_0\right)$ với mọi $x\in\left(x_0-h;x_0+h\right)$ và $x\ne x_0$ thì ta nói hàm số $f\left(x\right)$ đạt cực đại tại $x_0$.

b) Nếu tồn tại số $h>0$ sao cho $f\left(x\right)>f\left(x_0\right)$ với mọi $x\in\left(x_0-h;x_0+h\right)$ và $x\ne x_0$ thì ta nói hàm số $f\left(x\right)$ đạt cực tiểu tại $x_0$.

Chú ý:

1) Nếu hàm số $f\left(x\right)$ đạt cực đại (cực tiểu) tại $x_0$ thì $x_0$ được gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của hàm số; $f\left(x_0\right)$ được gọi là giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) của hàm số, kí hiệu là $f_{CĐ}$ ($f_{CT}$), còn điểm $M\left(x_0;f\left(x_0\right)\right)$  được gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của đồ thị hàm số.

2) Các điểm cực đại và cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị. Giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) còn gọi là cực đại (cực tiểu) và được gọi chung là cực trị của hàm số.

3) Nếu  hàm số $y=f\left(x\right)$ có đạo hàm trên $\left(a;b\right)$ và đạt cực đại hoặc cực tiểu tại $x_0$ thì $f'\left(x_0\right)=0$.

II. Điều kiện đủ để hàm số có cực trị

Định lý 1:  Giả sử hàm số $y=f\left(x\right)$ liên tục trên khoảng $K=\left(x_0-h;x_0+h\right)$ và có đạo hàm trên K hoặc trên $K\backslash\left\{x_0\right\}$, với $h>0$.a) Nếu $f'\left(x\right)>0$ trên khoảng $\left(x_0-h;x_0\right)$ và $f'\left(x\right)< 0$ trên khoảng $\left(x_0;x_0+h\right)$ thì $x_0$ là một điểm cực đại của hàm số $f\left(x\right)$.

b)  Nếu $f'\left(x\right)< 0$ trên khoảng $\left(x_0-h;x_0\right)$ và $f'\left(x\right)>0$ trên khoảng $\left(x_0;x_0+h\right)$ thì $x_0$ là một điểm cực tiểu của hàm số $f\left(x\right)$.

    

III. Qui tắc tìm cực trị

Qui tắc 1:

1. Tìm tập xác định.

2 Tính $f'\left(x\right)$ . Tìm các điểm tại đó $f'\left(x\right)$ bằng 0 hoặc không xác định.

3. Lập bảng biến thiên.

4. Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị.

Định lý 2: Giả sử hàm số $y=f\left(x\right)$ có đạo hàm cấp hai trong khoảng $\left(x_0-h;x_0+h\right)$, với $h>0$. Khi đó:

a) Nếu $f'\left(x_0\right)=0,f''\left(x_0\right)>0$ thì $x_0$ là điểm cực tiểu;

b) Nếu $f'\left(x_0\right)=0,f''\left(x_0\right)< 0$ thì $x_0$ là điểm cực đại.

Áp dụng Định lý 2 ta có qui tắc sau đây để tìm cực trị của hàm số.

Qui tắc 2:

1. Tìm tập xác định.

2. Tính $f'\left(x\right)$. Giải phương trình $f'\left(x\right)=0$ và kí hiệu $x_i$ ($i=1,2,...,n$) là tập các nghiệm của nó.

3. Tính $f''\left(x\right)$ và $f''\left(x_i\right)$.

4. Dựa vào dấu của $f''\left(x_i\right)$ suy ra tính chất cực trị của điểm $x_i$.

I. Tính đơn điệu của hàm số

Hãy hoàn thành 2 câu hỏi dưới đây để nhớ lại kiến thức cũ đã học:

1. Định nghĩa:

Kí hiệu K là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng. Giả sử hàm số $y=f\left(x\right)$ xác định trên K. Ta nói

Hàm số $y=f\left(x\right)$ đồng biến (tăng) trên $K$ nếu với mọi cặp $x_1,x_2\in K$ mà $x_1< x_2$ thì $f\left(x_1\right)< f\left(x_2\right)$;

Hàm số $y=f\left(x\right)$ nghịch biến (giảm) trên $K$ nếu với mọi cặp  mà $x_1,x_2\in K$ mà $x_1< x_2$  thì $f\left(x_1\right)>f\left(x_2\right)$.

Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên $K$ được gọi chung là hàm số đơn điệu trên $K$.

Nhận xét: Từ định nghĩa trên ta thấy:

a) $f\left(x\right)$ đồng biến trên $K$ $\Leftrightarrow\dfrac{f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)}{x_2-x_1}>0,\forall x_1,x_2\in K$ ($x_1\ne x_2$);

    $f\left(x\right)$ nghịch biến trên $K$   ​$\Leftrightarrow\dfrac{f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)}{x_2-x_1}< 0,\forall x_1,x_2\in K$​ ($x_1\ne x_2$).

b) Nếu hàm số đồng biến trên K thì đồ thị đi lên từ trái sang phải (hình a);

    Nếu hàm số nghịch biến trên K thì đồ thị đi xuống từ trái sang phải (hình b).

2) Tính đơn điệu và dấu của đạo hàm

Định lý: Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ có đạo hàm trên K.

a) Nếu $f'\left(x\right)>0$ với mọi $x$ thuộc K thì hàm số $f\left(x\right)$ đồng biến trên K.

b) Nếu $f'\left(x\right)< 0$ với mọi $x$ thuộc K thì hàm số nghịch biến trên K.

Định lý mở rộng: Giả sử hàm số $y=f\left(x\right)$ có đạo hàm trên K. Nếu $f'\left(x\right)\ge0$ (hoặc $f'\left(x\right)\le0$), $\forall x\in K$ và $f'\left(x\right)=0$ chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) trên K.

Ví dụ: hàm số $y=2x^3+6x^2+6x-7$ có đạo hàm $y'=6x^2+12x+6=6\left(x+1\right)^2\ge0,\forall x\in\mathbb{R}$. Vậy hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$.

II. Qui tắc xét tính đơn điệu của hàm số

Qui tắc:

1. Tìm tập xác định

2. Tính đạo $f'\left(x\right)$. Tìm các điểm $x_1,x_2,...,x_n$ mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định.

3. Sắp xếp các điểm $x_1,x_2,...,x_n$ theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên.

4. Rút ra kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

I. Tính đơn điệu của hàm số

Hãy hoàn thành 2 câu hỏi dưới đây để nhớ lại kiến thức cũ đã học:

1. Định nghĩa:

Kí hiệu K là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng. Giả sử hàm số $y=f\left(x\right)$ xác định trên K. Ta nói

Hàm số $y=f\left(x\right)$ đồng biến (tăng) trên $K$ nếu với mọi cặp $x_1,x_2\in K$ mà $x_1< x_2$ thì $f\left(x_1\right)< f\left(x_2\right)$;

Hàm số $y=f\left(x\right)$ nghịch biến (giảm) trên $K$ nếu với mọi cặp  mà $x_1,x_2\in K$ mà $x_1< x_2$  thì $f\left(x_1\right)>f\left(x_2\right)$.

Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên $K$ được gọi chung là hàm số đơn điệu trên $K$.

Nhận xét: Từ định nghĩa trên ta thấy:

a) $f\left(x\right)$ đồng biến trên $K$ $\Leftrightarrow\dfrac{f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)}{x_2-x_1}>0,\forall x_1,x_2\in K$ ($x_1\ne x_2$);

    $f\left(x\right)$ nghịch biến trên $K$   ​$\Leftrightarrow\dfrac{f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)}{x_2-x_1}< 0,\forall x_1,x_2\in K$​ ($x_1\ne x_2$).

b) Nếu hàm số đồng biến trên K thì đồ thị đi lên từ trái sang phải (hình a);

    Nếu hàm số nghịch biến trên K thì đồ thị đi xuống từ trái sang phải (hình b).

2) Tính đơn điệu và dấu của đạo hàm

Định lý: Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ có đạo hàm trên K.

a) Nếu $f'\left(x\right)>0$ với mọi $x$ thuộc K thì hàm số $f\left(x\right)$ đồng biến trên K.

b) Nếu $f'\left(x\right)< 0$ với mọi $x$ thuộc K thì hàm số nghịch biến trên K.

Định lý mở rộng: Giả sử hàm số $y=f\left(x\right)$ có đạo hàm trên K. Nếu $f'\left(x\right)\ge0$ (hoặc $f'\left(x\right)\le0$), $\forall x\in K$ và $f'\left(x\right)=0$ chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) trên K.

Ví dụ: hàm số $y=2x^3+6x^2+6x-7$ có đạo hàm $y'=6x^2+12x+6=6\left(x+1\right)^2\ge0,\forall x\in\mathbb{R}$. Vậy hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$.

II. Qui tắc xét tính đơn điệu của hàm số

Qui tắc:

1. Tìm tập xác định

2. Tính đạo $f'\left(x\right)$. Tìm các điểm $x_1,x_2,...,x_n$ mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định.

3. Sắp xếp các điểm $x_1,x_2,...,x_n$ theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên.

4. Rút ra kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

I. Tính đơn điệu của hàm số

Hãy hoàn thành 2 câu hỏi dưới đây để nhớ lại kiến thức cũ đã học:

1. Định nghĩa:

Kí hiệu K là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng. Giả sử hàm số $y=f\left(x\right)$ xác định trên K. Ta nói

Hàm số $y=f\left(x\right)$ đồng biến (tăng) trên $K$ nếu với mọi cặp $x_1,x_2\in K$ mà $x_1< x_2$ thì $f\left(x_1\right)< f\left(x_2\right)$;

Hàm số $y=f\left(x\right)$ nghịch biến (giảm) trên $K$ nếu với mọi cặp  mà $x_1,x_2\in K$ mà $x_1< x_2$  thì $f\left(x_1\right)>f\left(x_2\right)$.

Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên $K$ được gọi chung là hàm số đơn điệu trên $K$.

Nhận xét: Từ định nghĩa trên ta thấy:

a) $f\left(x\right)$ đồng biến trên $K$ $\Leftrightarrow\dfrac{f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)}{x_2-x_1}>0,\forall x_1,x_2\in K$ ($x_1\ne x_2$);

    $f\left(x\right)$ nghịch biến trên $K$   ​$\Leftrightarrow\dfrac{f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)}{x_2-x_1}< 0,\forall x_1,x_2\in K$​ ($x_1\ne x_2$).

b) Nếu hàm số đồng biến trên K thì đồ thị đi lên từ trái sang phải (hình a);

    Nếu hàm số nghịch biến trên K thì đồ thị đi xuống từ trái sang phải (hình b).

2) Tính đơn điệu và dấu của đạo hàm

Định lý: Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ có đạo hàm trên K.

a) Nếu $f'\left(x\right)>0$ với mọi $x$ thuộc K thì hàm số $f\left(x\right)$ đồng biến trên K.

b) Nếu $f'\left(x\right)< 0$ với mọi $x$ thuộc K thì hàm số nghịch biến trên K.

Định lý mở rộng: Giả sử hàm số $y=f\left(x\right)$ có đạo hàm trên K. Nếu $f'\left(x\right)\ge0$ (hoặc $f'\left(x\right)\le0$), $\forall x\in K$ và $f'\left(x\right)=0$ chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) trên K.

Ví dụ: hàm số $y=2x^3+6x^2+6x-7$ có đạo hàm $y'=6x^2+12x+6=6\left(x+1\right)^2\ge0,\forall x\in\mathbb{R}$. Vậy hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$.

II. Qui tắc xét tính đơn điệu của hàm số

Qui tắc:

1. Tìm tập xác định

2. Tính đạo $f'\left(x\right)$. Tìm các điểm $x_1,x_2,...,x_n$ mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định.

3. Sắp xếp các điểm $x_1,x_2,...,x_n$ theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên.

4. Rút ra kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

I. Tính đơn điệu của hàm số

Hãy hoàn thành 2 câu hỏi dưới đây để nhớ lại kiến thức cũ đã học:

1. Định nghĩa:

Kí hiệu K là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng. Giả sử hàm số $y=f\left(x\right)$ xác định trên K. Ta nói

Hàm số $y=f\left(x\right)$ đồng biến (tăng) trên $K$ nếu với mọi cặp $x_1,x_2\in K$ mà $x_1< x_2$ thì $f\left(x_1\right)< f\left(x_2\right)$;

Hàm số $y=f\left(x\right)$ nghịch biến (giảm) trên $K$ nếu với mọi cặp  mà $x_1,x_2\in K$ mà $x_1< x_2$  thì $f\left(x_1\right)>f\left(x_2\right)$.

Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên $K$ được gọi chung là hàm số đơn điệu trên $K$.

Nhận xét: Từ định nghĩa trên ta thấy:

a) $f\left(x\right)$ đồng biến trên $K$ $\Leftrightarrow\dfrac{f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)}{x_2-x_1}>0,\forall x_1,x_2\in K$ ($x_1\ne x_2$);

    $f\left(x\right)$ nghịch biến trên $K$   ​$\Leftrightarrow\dfrac{f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)}{x_2-x_1}< 0,\forall x_1,x_2\in K$​ ($x_1\ne x_2$).

b) Nếu hàm số đồng biến trên K thì đồ thị đi lên từ trái sang phải (hình a);

    Nếu hàm số nghịch biến trên K thì đồ thị đi xuống từ trái sang phải (hình b).

2) Tính đơn điệu và dấu của đạo hàm

Định lý: Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ có đạo hàm trên K.

a) Nếu $f'\left(x\right)>0$ với mọi $x$ thuộc K thì hàm số $f\left(x\right)$ đồng biến trên K.

b) Nếu $f'\left(x\right)< 0$ với mọi $x$ thuộc K thì hàm số nghịch biến trên K.

Định lý mở rộng: Giả sử hàm số $y=f\left(x\right)$ có đạo hàm trên K. Nếu $f'\left(x\right)\ge0$ (hoặc $f'\left(x\right)\le0$), $\forall x\in K$ và $f'\left(x\right)=0$ chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) trên K.

Ví dụ: hàm số $y=2x^3+6x^2+6x-7$ có đạo hàm $y'=6x^2+12x+6=6\left(x+1\right)^2\ge0,\forall x\in\mathbb{R}$. Vậy hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$.

II. Qui tắc xét tính đơn điệu của hàm số

Qui tắc:

1. Tìm tập xác định

2. Tính đạo $f'\left(x\right)$. Tìm các điểm $x_1,x_2,...,x_n$ mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định.

3. Sắp xếp các điểm $x_1,x_2,...,x_n$ theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên.

4. Rút ra kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

I. Tính đơn điệu của hàm số

Hãy hoàn thành 2 câu hỏi dưới đây để nhớ lại kiến thức cũ đã học:

1. Định nghĩa:

Kí hiệu K là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng. Giả sử hàm số $y=f\left(x\right)$ xác định trên K. Ta nói

Hàm số $y=f\left(x\right)$ đồng biến (tăng) trên $K$ nếu với mọi cặp $x_1,x_2\in K$ mà $x_1< x_2$ thì $f\left(x_1\right)< f\left(x_2\right)$;

Hàm số $y=f\left(x\right)$ nghịch biến (giảm) trên $K$ nếu với mọi cặp  mà $x_1,x_2\in K$ mà $x_1< x_2$  thì $f\left(x_1\right)>f\left(x_2\right)$.

Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên $K$ được gọi chung là hàm số đơn điệu trên $K$.

Nhận xét: Từ định nghĩa trên ta thấy:

a) $f\left(x\right)$ đồng biến trên $K$ $\Leftrightarrow\dfrac{f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)}{x_2-x_1}>0,\forall x_1,x_2\in K$ ($x_1\ne x_2$);

    $f\left(x\right)$ nghịch biến trên $K$   ​$\Leftrightarrow\dfrac{f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)}{x_2-x_1}< 0,\forall x_1,x_2\in K$​ ($x_1\ne x_2$).

b) Nếu hàm số đồng biến trên K thì đồ thị đi lên từ trái sang phải (hình a);

    Nếu hàm số nghịch biến trên K thì đồ thị đi xuống từ trái sang phải (hình b).

2) Tính đơn điệu và dấu của đạo hàm

Định lý: Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ có đạo hàm trên K.

a) Nếu $f'\left(x\right)>0$ với mọi $x$ thuộc K thì hàm số $f\left(x\right)$ đồng biến trên K.

b) Nếu $f'\left(x\right)< 0$ với mọi $x$ thuộc K thì hàm số nghịch biến trên K.

Định lý mở rộng: Giả sử hàm số $y=f\left(x\right)$ có đạo hàm trên K. Nếu $f'\left(x\right)\ge0$ (hoặc $f'\left(x\right)\le0$), $\forall x\in K$ và $f'\left(x\right)=0$ chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) trên K.

Ví dụ: hàm số $y=2x^3+6x^2+6x-7$ có đạo hàm $y'=6x^2+12x+6=6\left(x+1\right)^2\ge0,\forall x\in\mathbb{R}$. Vậy hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$.

II. Qui tắc xét tính đơn điệu của hàm số

Qui tắc:

1. Tìm tập xác định

2. Tính đạo $f'\left(x\right)$. Tìm các điểm $x_1,x_2,...,x_n$ mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định.

3. Sắp xếp các điểm $x_1,x_2,...,x_n$ theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên.

4. Rút ra kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.