Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(-1;1;3) và hai đường thẳng $\Delta$: $\frac{x-1}{3}=\frac{y+3}{2}=\frac{z-1}{1}$, $\Delta \text{'}$: $\frac{x+1}{1}=\frac{y}{3}=\frac{z}{-2}$. Phương trình nào dưới đây là đường thẳng qua M và vuông góc với $\Delta$ và  $\Delta \text{'}$.

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $\mathrm{\Delta }$: $\left\{\begin{array}{l}\begin{array}{c}\mathrm{x}=1+3\mathrm{t},\\ \\ \mathrm{y}=2\mathrm{t},\end{array}\\ \mathrm{z}=3+\mathrm{t}\end{array}\right.$ (t∈R). Một vectơ chỉ phương của $\mathrm{\Delta }$ có tọa độ là

Trong không gian Oxyz cho đường thẳng d: $\frac{\mathrm{x}}{2}=\frac{\mathrm{y}}{2}=\frac{\mathrm{z}+3}{-1}$và mặt cầu (S): $(\mathrm{x}-3{)}^2+(\mathrm{y}-2{)}^2+(\mathrm{z}-5{)}^2=36$. Gọi  $\mathrm{\Delta }$ là đường thẳng đi qua A(2;1;3) vuông góc với đường thẳng (d) và cắt (S) tại 2 điểm có khoảng cách lớn nhất. Khi đó đường thẳng Δ có một vectơ chỉ phương là $\stackrel{\to }{\mathrm{u}} (1;\mathrm{a};\mathrm{b})$. Tính a + b

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d: $\frac{\mathrm{x}-3}{2}=\frac{\mathrm{y}+2}{1}=\frac{\mathrm{z}+1}{-1}$ và mặt phẳng có phương trình (P): x+y+z+2=0. Đường thẳng  $\mathrm{\Delta }$ nằm trong mặt phẳng (P), vuông góc với đường thẳng d đồng thời khoảng cách từ giao điểm I của d với (P) đến  $\mathrm{\Delta }$ bằng $\sqrt{42}$. Gọi M(5;b;c) là hình chiếu vuông góc của I trên  $\mathrm{\Delta }$. Giá trị của bc bằng:

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $d:\frac{x-1}{2m+1}=\frac{y+3}{2}=\frac{z+1}{m-2},m\notin \left\{-\frac{1}{2},2\right\}$và mặt phẳng (P): x+ y+ z−6 = 0. Gọi Δ là hình chiếu vuông góc của d lên mặt phẳng (P). Có bao nhiêu số thực m để Δ vuông góc với véctơ $\stackrel{\to }{a}\left(-1;0;1\right)$.

Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng $\Delta$: $\frac{x-m}{1}=\frac{y+1}{-2}=\frac{z+m^2}{1}$ và hai điểm M(-1;4;1),N(3;-2;0). Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của M, N lên Δ. Khối tứ diện HKMN có thể tích nhỏ nhất bằng

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S): $(x+1{)}^2+(y-1{)}^2+(z+2{)}^2=2$và hai đường thẳng d: $\frac{x-2}{1}=\frac{y}{2}=\frac{z-1}{-1}$,Δ: $\frac{x}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z-1}{-1}$. Phương trình nào dưới đây là phương trình mặt phẳng tiếp xúc với (S) và song song với d và Δ

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng $∆:\frac{x-1}{2}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-1}{-1}$ và mặt phẳng $\left(P\right)$: x+y+z-3=0. Gọi d là đường thẳng nằm trong (P), đi qua giao điểm của Δ và (P), đồng thời vuông góc với Δ. Giao điểm của đường thẳng d với mặt phẳng tọa độ (Oxy) là

Trong không gian Oxyz, đường thẳng Δ qua điểm A(2;1;5) và song song với mặt phẳng (P):3x-y-z+3=0 sao cho khoảng cách từ điểm M(1;2;−1) đến đường thẳng Δ nhỏ nhất, biết $\stackrel{\rightharpoonup }{u}\left(a;1;b\right)$ là một véctơ chỉ phương của đường thẳng Δ. Giá trị của a+b bằng

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng   $d_1: \frac{x-3}{-1}=\frac{y-3}{-2}=\frac{z+2}{1}$và $d_2: \frac{x-5}{-3}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-2}{1}$ và mặt phẳng (P) có phương trình $x+2y+3z-5=0$. Đường thẳng Δ vuông góc với (P) cắt $d_1$ và $d_2$ có phương trình là: