I  trung điểm của PQ ,

mk viết nhầm 

trên AB và AE

Câu a dễ nha: tứ giác BCDO có DOB+DCB=90+90=180(mà 2 góc ở vị trí đối nhau )

nên BCDO nội tiếp

câu b) tam giác ADO và tam giác ABC có:

góc BAC chung 

AOD=ACB=90

câu c: CB là dây cung mà OE là đường thẳng đi qua bán kính nên OE vuông góc với BC

nên OE// DC hay AD//OE mà DE//AO nên OEDA là hình bình hành

câu d thì mk chưa nghĩ ra hihi thông cảm nha

ở câu c nếu chỉ có BC là dây và OE là đường thẳng đi qua bán kính thì BC chưa thể vuông góc với OE được bạn nhé mà cần phải OE đi qua trung điểm của BC nữa

a. Ta có: \(\widehat{ADB}=90^o\)(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) => \(\widehat{ADE}=90^o\)

Lại có: \(CH\perp AB\)tại H (gt)  mà E \(\in CH\)(do  E là giao điểm của BD và CH (gt)) => \(\widehat{EHA}=90^o\) 

Xét tứ giác ADEH có: \(\widehat{ADE}+\widehat{EHA}=90^o+90^o=180^o\)=> tứ giác ADEH nội tiếp (DHNB) => đpcm

b.

Ta có: \(\widehat{ACB}=90^o\)(góc nội tiếp chắn nữa đường tròn) => \(\Delta ABC\)vuông tại C

=> \(S\Delta ABC=\frac{1}{2}AC\times BC=\frac{1}{2}CH\times AB\)=> CH = \(\frac{AC\times BC}{AB}\)

=> \(AC\times AH+CB\times CH=AC\times AH+CB\times\frac{AC\times BC}{AB}\)= \(AC\times(AH+\frac{BC^2}{AB})=AC\times\frac{(AH\times AB+BC^2)}{AB}\)(1)

Áp dụng hệ thức lượng trong \(\Delta ABC\)vuông tại C với đường cao CH ta được: AH \(\times AB=AC^2\)(2)

Áp dụng định lý pitago trong \(\Delta ABC\)vuông tại C ta được: \(AC^2+BC^2=AB^2\)(3)

Thế (2) và (3) vào (1) ta được : \(AC\times AH+CB\times CH=AB\times AC\)(ĐPCM)

c. Gọi K là điểm chính giữa cung AB (K nằm cùng phía với C so với bờ AB) => K là điểm cố định và \(KO\perp AB\)tại O => KO // CH => \(\widehat{KOC}=\widehat{KOM}=\widehat{HCO}\)(So le trong)

Nối K với M 

Xét \(\Delta KOM\)và \(\Delta OCH\)có:

+ KO = OC = R

+ \(\widehat{KOM}=\widehat{HCO}\)(cmt)

+ OM = CH (gt) 

=> \(\Delta KOM=\Delta OCH\)(c.g.c) => \(\widehat{KMO}=\widehat{OHC}=90^o\Rightarrow\Delta KOM\)vuông tại M => M \(\in(I,\frac{OK}{2})\)cố định (trong đó I là trung điểm của OK)

a, Ta có:  E C A ^ + O C A ^ = 90 0 và A C H ^ + O A C ^ = 90 0

mà  O A C ^ = O C A ^  (do tam giác AOC cân tại O)

Suy ra E C A ^ = A C H ^

Khi đó  E A C ^ = H A C ^  (cùng lần lượt phụ với E C A ^ và  A C H ^ ), ta có đpcm

b, Chứng minh tương tự  suy ra BC là phân giác của  F B H ^

Từ đó, chứng minh được BC vuông góc HF (1)

Tam giác ABC có trung tuyến OC = 1 2 AB. Suy ra tam giác ABC vuông tại C , tức là BC vuông góc với AC (2)

Từ (1),(2) suy ra đpcm

c, Ta có : AE+BF =2OC=2R không đổi

d, Ta có   A E . B F ≤ A E + B F 2 4 = R 2

suy ra AE.BF lớn nhất =  R 2 óAE=BF=R

Điều này xẩy ra khi C là điểm chính giữa cung AB