Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
1: K là điểm chính giữa của cung nhỏ AB
=>sđ cung KA=sđ cung KB
=>OK⊥AB tại I và I là trung điểm của AB
Xét tứ giác KIHB có \(\hat{KIB}=\hat{KHB}=90^0\)
nên KIHB là tứ giác nội tiếp
2: KBFA nội tiếp(Vì K,B,F,A cùng thuộc (O))
=>\(\hat{KBA}=\hat{KFA}\)
Xét (O) có
\(\hat{KBA}\) là góc nội tiếp chắn cung KA
\(\hat{KFB}\) là góc nội tiếp chắn cung KB
sđ cung KA=sđ cung KB
Do đó: \(\hat{KBA}=\hat{KFB}\)
Xét ΔKBE và ΔKFB có
\(\hat{KBE}=\hat{KFB}\)
góc BKE chung
Do đó: ΔKBE~ΔKFB
=>\(\frac{KB}{KF}=\frac{KE}{KB}\)
=>\(KB^2=KF\cdot KE\)
A B C O D E S F N M I
a) Bổ đề: Xét tam giác ABC cân tại A, một điểm M bất kì sao cho ^AMB = ^AMC. Khi đó MB = MC.
Bổ đề chứng minh rất đơn giản, không trình bày ở đây.
Áp dụng vào bài toán: Vì E là điểm chính giữa (BC nên EB = EC = ED => \(\Delta\)BED cân tại E
Ta có ^BAE = ^CAE (2 góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau) hay ^BAE = ^DAE
Áp dụng bổ đề vào \(\Delta\)BED ta được AB = AD. Khi đó AE là trung trực của BD => AE vuông góc BD
Lại có \(\Delta\)BAD ~ \(\Delta\)CFD (g.g). Mà AB = AD nên FD =FC. Từ đó EF vuông góc DC
Xét \(\Delta\)AEF có FD vuông góc AE (cmt), AD vuông góc EF (cmt) => D là trực tâm \(\Delta\)AEF (đpcm).
b) Gọi DN cắt EC tại I. Ta dễ thấy ^MDI = ^MDN = ^MBN = ^MBC = ^MEC = ^MEI
Suy ra bốn điểm D,E,M,I cùng thuộc một đường tròn => ^EMD = ^EID = 900
Nếu ta gọi MD cắt cung lớn BC của (O) tại S thì ^EMS chắn nửa (O) hay ES là đường kính của (O)
Mà E là điểm chính giữa cung nhỏ BC nên S là điểm chính giữa cung lớn BC
Do đó S là điểm cố định (Vì B,C cố định). Vậy MD luôn đi qua S cố định (đpcm).