Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a, HS tự chứng minh
b, M chính giữa A B ⏜
=> NE là phân giác B N A ^
=> B N A N = E B E A (tính chất đường phân giác) => BN.AE = NA.BE
c, HS tự chứng minh
d, Chứng minh ∆ABN:∆DBN => ĐPCM
J A B C O E D H K M N
a) Xét hai tam giác ABD và ACE có:
\(\widehat{A}\) chung
\(\widehat{ADB}=\widehat{AEC}=90^o\)
\(\Rightarrow\Delta ABD\sim\Delta ACE\left(g-g\right)\)
\(\Rightarrow\frac{AB}{AC}=\frac{AD}{AE}\Rightarrow AD.AC=AE.AB\)
b) Xét tam giác ABC có BD và CE là hai đường cao nên H là trực tâm. Vậy thì AH vuông góc với BC tại K.
c) Ta thấy AMO; AKO; ANO là các tam giác vuông có chung cạnh huyền AO nên A, M, K, O, N cùng thuộc đường tròn đường kính AO.
Khi đó \(\widehat{AKN}=\widehat{AMN}\) (Hai góc nội tiếp cùng chắn cung AN)
Lại có AM = AN nên \(\widehat{AMN}=\widehat{ANM}\)
Suy ra \(\widehat{AKN}=\widehat{ANM}\)
d) Gọi J là giao điểm của MN với AO.
Xét tam giác vuông ANO, đường cao NJ, ta có:
\(AJ.AO=AN^2\) (Hệ thức lượng)
Lại có \(\Delta AHJ\sim\Delta AOK\left(g-g\right)\Rightarrow\frac{AH}{AO}=\frac{AJ}{AK}\)
\(\Rightarrow AJ.AO=AH.AK\)
\(\Rightarrow AN^2=AH.AK\)
\(\Rightarrow\Delta AHN\sim\Delta ANK\left(c-g-c\right)\Rightarrow\widehat{ANH}=\widehat{AKN}\)
Mà \(\widehat{AKN}=\widehat{ANM}\Rightarrow\widehat{ANH}=\widehat{ANM}\) hay M, N, H thẳng hàng.
Hoàng Thị Thu Huyền ơi ngộ nhận kìa. ý d đang chứng minh thẳng hàng mà bạn có 2 cái tam giác AHJ và AOK đồng dạng (g g) thì sao được ??
Em không vẽ được hình, xin thông cảm
a, Ta có góc EAN= cungEN=cung EC+ cung EN
Mà cung EC= cung EB(E là điểm chính giữa cung BC)
=> góc EAN=cungEB+ cung EN=góc DFE (tính chất góc ở giữa)
=> tam giác AEN đồng dạng tam giác FED
Vậy tam giác AEN đồng dạng tam giác FED
b,Ta có EC=EB=EM
Tam giác EMC cân tại E => EMC=ECM
MÀ EMC+AME=180, ECM+ABE=180
=> AME = ABE
=> tam giác ABE= tam giác AME
=> AB=AM => tam giác ABM cân tại A
Mà AE là phân giác => AE vuông góc BM
CMTT => AC vuông góc EN
MÀ AC giao BM tại M
=> M là trực tâm tam giác AEN
Vậy M là trực tâm tam giác AEN
c, Gọi H là giao điểm OE với đường tròn (O) (H khác E) => O là trung điểm của EH
Vì M là trực tâm của tam giác AEN
=> \(EN\perp AN\)
Mà \(OI\perp AN\)(vì I là trung điểm của AC)
=> \(EN//OI\)
MÀ O là trung điểm của EH
=> I là trung điểm của MH (đường trung bình trong tam giác )
=> tứ giác AMNH là hình bình hành
=> AH=MN
Mà MN=NC
=> AH=NC
=> cung AH= cung NC
=> cung AH + cung KC= cung KN
Mà cung AH+ cung KC = góc KMC(tính chất góc ở giữa 2 cung )
NBK là góc nội tiếp chắn cung KN
=> gócKMC=gócKBN
Hay gócKMC=gócKBM
=> CM là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác MBK( ĐPCM)
Vậy CM là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác BMK
A B C O D E S F N M I
a) Bổ đề: Xét tam giác ABC cân tại A, một điểm M bất kì sao cho ^AMB = ^AMC. Khi đó MB = MC.
Bổ đề chứng minh rất đơn giản, không trình bày ở đây.
Áp dụng vào bài toán: Vì E là điểm chính giữa (BC nên EB = EC = ED => \(\Delta\)BED cân tại E
Ta có ^BAE = ^CAE (2 góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau) hay ^BAE = ^DAE
Áp dụng bổ đề vào \(\Delta\)BED ta được AB = AD. Khi đó AE là trung trực của BD => AE vuông góc BD
Lại có \(\Delta\)BAD ~ \(\Delta\)CFD (g.g). Mà AB = AD nên FD =FC. Từ đó EF vuông góc DC
Xét \(\Delta\)AEF có FD vuông góc AE (cmt), AD vuông góc EF (cmt) => D là trực tâm \(\Delta\)AEF (đpcm).
b) Gọi DN cắt EC tại I. Ta dễ thấy ^MDI = ^MDN = ^MBN = ^MBC = ^MEC = ^MEI
Suy ra bốn điểm D,E,M,I cùng thuộc một đường tròn => ^EMD = ^EID = 900
Nếu ta gọi MD cắt cung lớn BC của (O) tại S thì ^EMS chắn nửa (O) hay ES là đường kính của (O)
Mà E là điểm chính giữa cung nhỏ BC nên S là điểm chính giữa cung lớn BC
Do đó S là điểm cố định (Vì B,C cố định). Vậy MD luôn đi qua S cố định (đpcm).
a) ta có :
P là điểm chính giữa cung AC
=> cung AP = cung PC
N là điểm chính giữa cung BC
=> cung NB = NC
Mà : góc IBN = 1/2 cung PN = 1/2 (cung PC + cung CN )
góc BIN = 1/2 ( cung BN + AP )
mà cung PC = cung AP
cung BN = cung CN
=> IBN = BIN
=> tam giác IBN là tam giác cân
b) ta có : N là điểm chính giữa của cung BC
=>MN là tia phân giác của góc BAC
=> EB/AE=BN/AN
=> đpcm
c) ta có : BNI cân
NM là tia phân giác
=> NM cũng là tia trung trực
=> EBN = EIN
MÀ IBN = BIN ( tam giác cân )
=> EBI=EIB (1)
=> tam giác EBI cân
mà P là điểm chính giữa cung AC
=> BP là đường phân giác của góc EBN
=> EBP = IBN hay EBI=IBN (2)
từ (1) và (2) => IBN=EIB
mà 2 góc ở vị trí slt => EI//BC
d) Xét tam giác BAN và tam giác BDN
có N chung
góc BAN = BDN ( cùng chắn cung BN )
=> tam giác BAN đồng dạng tam giác BDN
=> đpcm
a, CM BIN=IBN = 1/2 sđ PN => tam giác BIN cân tại N
b, CM đc MN vuông góc với BP mà tam giác BIN cân tại N => MN là đường trung trực của BI , E thuộc MN => BE=BI và EN là tia pg của BEI
CM tam giác AEN ~ tam giác IEN ( g-g) =>AE.IN = EI.AN => AE.BN = EB.AN
c, CM đc EBP = PBC mà EBI =EIB nên EIB = IBD mà 2 góc này ở vị trí slt=> EI //BC
d, CM tam giác ABN~ tam giác BDN ( g-g) => AN/BN = AB /BD \dfrac{AN}{BN}=\dfrac{AB}{BD}
A)
Ta có góc IBN là góc nội tiếp chắn cung PN
=> góc IBN = \(\dfrac{sđPN}{2}\)
Vì góc BIN là góc có đỉnh nằm trong đường tròn
nên: góc BIN = \(\dfrac{sđAP+sđBN}{2}=\dfrac{sđPC+sđCN}{2}=\dfrac{sđPN}{2}\) (vì P nằm chính giữa cung AC nên AP = PC; vì N nằm chính giữa cung BC nên BN = CN)
Xét ΔBIN có:
góc BIN = góc IBN
Do đó: ΔBIN cân tại N
a, CM BIN=IBN = 1/2 sđ PN => tam giác BIN cân tại N b, CM đc MN vuông góc với BP mà tam giác BIN cân tại N => MN là đường trung trực của BI , E thuộc MN => BE=BI và EN là tia pg của BEI CM tam giác AEN ~ tam giác IEN ( g-g) =>AE.IN = El.AN => AE.BN = EB.AN c, CM đc EBP = PBC mà EBI =EIB nên EIB = IBD mà 2 góc này ở vị trí slt=> El //BC d, CM tam giác ABN~ tam giác BDN ( g-g) => AN/BN = AB /BD
a, CM BIN=IBN = 1/2 sđ PN => tam giác BIN cân tại N
b, CM đc MN vuông góc với BP mà tam giác BIN cân tại N
=> MN là đường trung trực của BI , E thuộc MN
=> BE=BI và EN là tia pg của BEI CM tam giác AEN ~ tam giác IEN ( g-g)
=>AE.IN = El.AN
=> AE.BN = EB.AN
c, CM đc EBP = PBC mà EBI =EIB nên EIB = IBD mà 2 góc này ở vị trí slt
=> El //BC
d, CM tam giác ABN~ tam giác BDN ( g-g) => AN/BN = AB /BD
a, CM BIN=IBN = 1/2 sđ PN => tam giác BIN cân tại N
b, CM đc MN vuông góc với BP mà tam giác BIN cân tại N
=> MN là đường trung trực của BI , E thuộc MN
=> BE=BI và EN là tia pg của BEI CM tam giác AEN ~ tam giác IEN ( g-g)
=>AE.IN = El.AN
=> AE.BN = EB.AN
c, CM đc EBP = PBC mà EBI =EIB nên EIB = IBD mà 2 góc này ở vị trí slt
=> El //BC
d, CM tam giác ABN~ tam giác BDN ( g-g) => AN/BN = AB /BD
a, CM BIN=IBN = 1/2 sđ PN => tam giác BIN cân tại N b, CM đc MN vuông góc với BP mà tam giác BIN cân tại N => MN là đường trung trực của BI , E thuộc MN => BE=BI và EN là tia pg của BEI CM tam giác AEN ~ tam giác IEN ( g-g) =>AE.IN = El.AN => AE.BN = EB.AN c, CM đc EBP = PBC mà EBI =EIB nên EIB = IBD mà 2 góc này ở vị trí slt => El //BC d, CM tam giác ABN~ tam giác BDN ( g-g) => AN/BN = AB /BD
a, CM BIN=IBN = 1/2 sđ PN => tam giác BIN cân tại N b, CM đc MN vuông góc với BP mà tam giác BIN cân tại N => MN là đường trung trực của BI , E thuộc MN => BE=BI và EN là tia pg của BEI CM tam giác AEN ~ tam giác IEN ( g-g) =>AE.IN = El.AN => AE.BN = EB.AN c, CM đc EBP = PBC mà EBI =EIB nên EIB = IBD mà 2 góc này ở vị trí slt => El //BC d, CM tam giác ABN~ tam giác BDN ( g-g) => AN/BN = AB /BD
a, CM BIN=IBN = 1/2 sđ PN => tam giác BIN cân tại N
b, CM đc MN vuông góc với BP mà tam giác BIN cân tại N
=> MN là đường trung trực của BI , E thuộc MN
=> BE=BI và EN là tia pg của BEI CM tam giác AEN ~ tam giác IEN ( g-g)
=>AE.IN = El.AN
=> AE.BN = EB.AN
c, CM đc EBP = PBC mà EBI =EIB nên EIB = IBD mà 2 góc này ở vị trí slt
=> El //BC
d, CM tam giác ABN~ tam giác BDN ( g-g) => AN/BN = AB /BD
a, CM BIN=IBN = 1/2 sđ PN => tam giác BIN cân tại N
b, CM đc MN vuông góc với BP mà tam giác BIN cân tại N
=> MN là đường trung trực của BI , E thuộc MN
=> BE=BI và EN là tia pg của BEI CM tam giác AEN ~ tam giác IEN ( g-g)
=>AE.IN = El.AN
=> AE.BN = EB.AN
c, CM đc EBP = PBC mà EBI =EIB nên EIB = IBD mà 2 góc này ở vị trí slt
=> El //BC
d, CM tam giác ABN~ tam giác BDN ( g-g)
=> AN/BN = AB /BD
a) Ta có: IBN = PN/2 = 1/2 (sđPC + sđCN)
BIN = 1/2 (sđBN + sđAP)
mà sđPC=sđAP (P là điểm chính giữa cung AC)
sđBN=sđCN (N là điểm chính giữa cung BC)
-> IBN=BIN
->Tam giác IBN là tam giác cân
b) Vì M là điểm chính giữa cung AB
-> sđAM=sđMB
->ANM=BNM
->NM là tia phân giác góc BNA
mà tam giác BIN cân tại N (cmt)
->NM là đường trung trực của BI, E thuộc NM
->BE=EI
và EN là tia phân giác BEI
Ta có: BEN=BAN(cùng chắn BN)
BEN=IEN ( EN là tia phân giác )
->BAN=IEN
Xét tam giác AEN và tam giác IEN có
ANE : góc chung
BAN = IEN (cmt)
->tam giác AEN đồng dạng IEN
->AE/AN=EI/IN
->AE.IN=AN.EI
mà MN là đường trung trực của BI(cmt)
->IN=BN
EI=EB
->AE.BN=EB.AN
c) Ta có: P là điểm chính giữa cung AC
-> sđAP=sđPC
-> BAP=PBC
mà EBI=EIB (cmt)
-> EIB=IBD
mà chúng ở vị trí slt
-> EI//BC
d) Vì N là điểm chính giữa cung BC
-> sđBN=sđCN
->BAN = DBN
Xét tam giác ABN và tam giác BDN có
BAN = DBN (cmt)
ANB: góc chung
-> tam giác ABN đồng dạng tam giác BDN
-> AN/BN=AB/BD
a) ta có
P là điểm nằm giữa cung AC⇒Cung AP = Cung PC
N là điểm nằm cung BC
⇒ Cung NB= Cung CN
⇒ IBN =BIN
⇒ΔIBN là Δcân
b) ta có N là nằm giữa cung BC
⇒MN là tia pg của góc BAC
⇒EB/AE = BN/AN
c) ta có BNI cân ,MN là tia pg ⇒NM cũng là tia trung trực
⇒EBN = EIN
mà EBI = BIN(Δ cân)
⇒EBI = EIB (1)
⇒Δ EBI Cân mà P là điểm nằm giữa cung AC
⇒BP là đg pg của góc EBN
⇒EBP = IBN hay EBI=IBN(2)"
từ (1) và(2) ta được IBN=EIB mà 2 góc ở vị trí slt ⇒EI//BC
d) xét ΔBAN và ΔBDN
N chung
góc BAN = BDN ( cùng chắn cung BN)
⇒ΔBAN ~ΔBDN(đpcm)
a) CM góc BIN=gócIBN =1/2 sđ PN=>△BIN cân tại N
b)CM MN vuông góc BP
mà △BIN cân tại N
=>MN là đttrực củaBI
E thuộc MN
=>BE=BI và EN là tia p/g của góc BEI
CM △AEN~△IEN(g-g)
=>AE.IN=EI.AN
=>AE.BN=EB.AN
c)CM được góc EBP=PBC
mà góc EBI= góc EIB
nên góc EIB=góc IBD
2 góc ở vị trí slt
suy ra EI//BC
d)CM △ABN~△BDN(g-g)
=>AN/BN=AB/BD
ta có \(\widehat{BIN}=\dfrac{1}{2}\left(\stackrel\frown{AP}+\stackrel\frown{BN}\right)\)mà cung AP= cung PC;CUNG BN=cungNC=>\(\widehat{BIN}=\dfrac{1}{2}\left(\stackrel\frown{PC}+\stackrel\frown{NC}\right)\)=> =1/2 (1)
góc PBN là góc nội tiếp chắn cung PCN=>\(\widehat{PBN}=\dfrac{1}{2}\left(\stackrel\frown{PNC}\right)\)(2)
(1)(2)=> góc BIN =góc PBN => tam giác BIN CÂN TẠI N
b, Xét tam giác AEN và tam giác BEN có
\(\widehat{E}chung\); \(\widehat{N1}=\widehat{N2}\left(\stackrel\frown{MA}=\stackrel\frown{MB}\right)\)=> 2 tam giác này đồng dạng
=> AE/BE=AN/BN=>AE.BN=BE.AN
C, ta có góc IBN=gócBIN(tam giác BIN cân)
mà góc IBN=góc EBI(vì\(\stackrel\frown{AP}=\stackrel\frown{PC}\))=> góc BIN =góc EBI (slt)=>EI//BC
D, xét tam giác ANB và tam giác BND có
\(\widehat{N}chung;\widehat{BAN}=\widehat{CBN}\left(\stackrel\frown{BN}=\stackrel\frown{NC}\right)\)
=> 2 tam giác đồng dạng=>AN/BN=AB/DB