Chu vi tam giác ANB=BC

=>AB+AN+NB=BC

=>AN+NB=BC-AB

Để tam giác ANB tồn tại thì BC-AB>0

=>BC>AB

Trên tia đối của tia AC, lấy E sao cho AB=AE.

Gọi d là đường trung trực của BE.

Gọi N là giao điểm của d và AC.

=>NE=NB

NE=AE+AN=AB+AN

Chu vi tam giác ANB là:

AN+AB+BN=(AB+AN)+NB=NE+NB=2NB

Để \(P_{ANB}=BC\) thì 2NB=BC

=>BN=BC/2

=>\(P_{A N B} = A B + A N + N B = N B + N B = 2 \cdot \left(\frac{B C}{2}\right) = B C\)

=>Đây chính là điểm N cần tìm

Do đó: Nếu BC>AB thì chỉ tồn tại đúng một điểm N thỏa mãn

Nếu BC<=AB thì không tồn tại điểm N nào

Chu vi của tam giác ABC là

 C=AB+BC+CA=10+24+30=64(cm)

Ta có : tg A'B'C' đồng dạng tg ABC

=>\(\dfrac{CvitgA'B'C'}{CvitgABC}=\dfrac{A'B'}{AB}\left(tisochuvi=tisodongdang\right)\)

=>\(\dfrac{128}{64}=\dfrac{A'B'}{10}\)

=>A'B'=\(\dfrac{128.10}{64}=20\left(cm\right)\)

Chứng minh tương tự B'C'=60cm

                                    A'C'=48cm

A B C A" B" C"

ta có: 

\(\dfrac{AB"}{AB}=\dfrac{AC"}{AC}=\dfrac{BC"}{BC}\)

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

\(\dfrac{AB"+AC"+BC"}{AB+AC+BC}=\dfrac{128}{10+24+30}=\dfrac{128}{64}=2\)

\(AB"=2.10=20\)

\(AC"=2.24=48\)

\(BC"=2.30=60\)

Vậy AB" = 20cm , AC"=48cm, BC"=60cm

Tam giác ABC có chu vi bằng 74cm, AC là cạnh lớn nhất. Đường phân giác của góc A chia cạnh BC thành hai đoạn tỉ lệ với 2:3; đường phân giác của góc C chia cạnh AB thành hai đoạn tỉ lệ với 4:5. Tính độ dài các cạnh của tam giác ABC. 

AB + BC + AC = 74 (*) 
Trong ∆ ABC phân giác AD → AB/AC = DB/DC = 2/3 (AC > AB) 
→ AB = 2/3 . AC (1) , tương tự với phân giác CE ta suy ra 
BC = 4/5 . AC (2) . Thế tất cả vào (*) ta được: 
2/3 . AC + 4/5 . AC + AC = 74 → 37AC/15 = 74 → AC = 30cm 
thế vào (1) và (2) ta được AB = 10cm, BC = 24cm