\(\Leftrightarrow2m.2^x+\left(2m+1\right)\left(3-\sqrt{5}\right)^x+\left(3+\sqrt{5}\right)^x=0\)

\(\Leftrightarrow\left(\frac{3+\sqrt{5}}{2}\right)^x+\left(2m+1\right)\left(\frac{3-\sqrt{5}}{2}\right)^x+2m< 0\)

Đặt \(t=\left(\frac{3+\sqrt{5}}{2}\right)^x,0< t\le1\Rightarrow\frac{1}{t}=\left(\frac{3-\sqrt{5}}{2}\right)^x\)

Phương trình trở thành :

\(t+\left(2m+1\right)\frac{1}{t}+2m=0\) (*)

a. Khi \(m=-\frac{1}{2}\) ta có \(t=1\) suy ra \(\left(\frac{3+\sqrt{5}}{2}\right)^x=1\Leftrightarrow x=0\)

Vậy phương trình có nghiệm là \(x=0\)

b. Phương trình (*) \(\Leftrightarrow t^2+1=-2m\left(t+1\right)\Leftrightarrow\frac{t^2+1}{t+1}=-2m\)

Xét hàm số \(f\left(t\right)=\frac{t^2+1}{t+1};t\in\)(0;1]

Ta có : \(f'\left(t\right)=\frac{t^2+2t+1}{\left(t+1\right)^2}\Rightarrow f'\left(t\right)=0\Leftrightarrow=-1+\sqrt{2}\)

t f'(t) f(t) 0 1 0 - + 1 1 -1 + căn 2 2 căn 2 - 2

Suy ra phương trình đã cho có nghiệm đúng

\(\Leftrightarrow2\sqrt{2}-2\le-2m\le1\Leftrightarrow\sqrt{2}-1\ge m\ge-\frac{1}{2}\)

Vậy \(m\in\left[-\frac{1}{2};\sqrt{2}-1\right]\) là giá trị cần tìm

Phương trình cần giải là:

\(b^{4} - 3 b^{3} + 5 b^{2} - 3 b - 2024 = 0\)

Đây là một phương trình bậc 4. Để giải phương trình này, ta sẽ thử một số giá trị đơn giản của \(b\) và tìm xem có nghiệm nào phù hợp không.

Thử với các giá trị của \(b\):

1. \(b = 2\):

Thay \(b = 2\) vào phương trình:

\(b^{4} - 3 b^{3} + 5 b^{2} - 3 b - 2024 = 2^{4} - 3 \cdot 2^{3} + 5 \cdot 2^{2} - 3 \cdot 2 - 2024\)\(= 16 - 24 + 20 - 6 - 2024\)\(= 16 - 24 + 20 - 6 - 2024 = - 2018 \neq 0\)

Vậy \(b = 2\) không phải là nghiệm.

2. \(b = 3\):

Thay \(b = 3\) vào phương trình:

\(b^{4} - 3 b^{3} + 5 b^{2} - 3 b - 2024 = 3^{4} - 3 \cdot 3^{3} + 5 \cdot 3^{2} - 3 \cdot 3 - 2024\)\(= 81 - 3 \cdot 27 + 5 \cdot 9 - 3 \cdot 3 - 2024\)\(= 81 - 81 + 45 - 9 - 2024\)\(= 81 - 81 + 45 - 9 - 2024 = - 1988 \neq 0\)

Vậy \(b = 3\) không phải là nghiệm.

3. \(b = - 1\):

Thay \(b = - 1\) vào phương trình:

\(b^{4} - 3 b^{3} + 5 b^{2} - 3 b - 2024 = \left(\right. - 1 \left.\right)^{4} - 3 \left(\right. - 1 \left.\right)^{3} + 5 \left(\right. - 1 \left.\right)^{2} - 3 \left(\right. - 1 \left.\right) - 2024\)\(= 1 - 3 \left(\right. - 1 \left.\right) + 5 \left(\right. 1 \left.\right) - 3 \left(\right. - 1 \left.\right) - 2024\)\(= 1 + 3 + 5 + 3 - 2024 = 12 - 2024 = - 2012 \neq 0\)

Vậy \(b = - 1\) không phải là nghiệm.

4. Thử các giá trị khác của \(b\) (bằng cách kiểm tra phương pháp giải các phương trình bậc 4 qua các kỹ thuật phân tích hay thuật toán số học).

Tham khảo

a) \(2m^2-m-5>0\)(1)

\(\Delta=1+41=42\)Nghiệm của pt (1) là \(\Rightarrow m_1=\dfrac{1-\sqrt{42}}{4};m_2=\dfrac{1+\sqrt{42}}{4}\)

=> nghiệm BPT (1) là:

\(\left[{}\begin{matrix}m< \dfrac{1-\sqrt{42}}{4}\\m>\dfrac{1+\sqrt{42}}{4}\end{matrix}\right.\)

câu b

\(\Delta=1+4.9=37\)Nghiệm pt là \(m_1=\dfrac{1-\sqrt{37}}{2};m_2=\dfrac{1+\sqrt{37}}{2}\)

Nghiệm BPT là: \(\dfrac{1-\sqrt{37}}{2}< m< \dfrac{1+\sqrt{37}}{2}\)

ĐKXĐ: ...

\(\Leftrightarrow\frac{x-3}{\sqrt{2x-3}+\sqrt{x}}=2\left(x-3\right)\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=3\\\frac{1}{\sqrt{2x-3}+\sqrt{x}}=2\left(1\right)\end{cases}}\)

Xét (1), ta có \(x\ge\frac{3}{2}\Rightarrow\sqrt{x}>1\Rightarrow\sqrt{2x-3}+\sqrt{x}>1\)

\(\Rightarrow VT< 1\Rightarrow\left(1\right)\) vô nghiệm

Vậy pt có nghiệm duy nhất \(x=3\)

Bất phương trình : \(\Leftrightarrow2^{3x^2}< 2^3.3^{1-x}\Leftrightarrow2^{3x^2-3}< 3^{1-x}\)

                                                       \(\Leftrightarrow\left(3x^2-3\right)\log_32< 1-x\)

                                                       \(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left[3\left(x+1\right)\log_32+1\right]< 0\) 

                                                       \(\Leftrightarrow-\frac{3\log_32+1}{3\log_32}< x< 1\)

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là : 

              \(S=\left(-\frac{3\log_32+1}{3\log_32};1\right)\)

a)​ Phương trình vô nghiệm:

\(\Leftrightarrow\Delta'< 0\)\(\Leftrightarrow\left(3m-1\right)^2-3\left(3m^2-m-1\right)< 0\)
\(\Leftrightarrow3m+4< 0\)\(\Leftrightarrow m< \dfrac{-4}{3}\).

b) Thay \(m=-1\) vào phương trình ta có:
\(3x^2+2\left(3.1-1\right)x+3.1^2-1-1=0\)\(\Leftrightarrow3x^2+2x-1=0\)
Do \(a-b+c=0\) nên phương trình có một nghiệm \(x=-1\), một nghiệm \(x=\dfrac{1}{3}\).

\(\sqrt{x^2-2x}\ge x+2\)  (1)

\(\Leftrightarrow\)  \(\begin{cases}x-2<0\\x^2-2x\ge0\end{cases}\) hoặc \(\begin{cases}x+2\ge0\\x^2-2x\ge\left(x+2\right)^2\end{cases}\)

\(\Leftrightarrow\)  \(\begin{cases}x<-2\\x\le0\end{cases}\) hoặc \(\begin{cases}x<-2\\2\le x\end{cases}\)

hoặc \(\begin{cases}-2\le x\\x\le-\frac{2}{3}\end{cases}\)

\(\Leftrightarrow\)  \(x<-2\)   hoặc \(2\le x\le-\frac{2}{3}\)

\(\Leftrightarrow\) \(x\le-\frac{2}{3}\)

Vậy bất phương trình đã cho có tập nghiệm T(1) = (\(-\infty\); \(-\frac{2}{3}\))

\(\sqrt{x^2-6x+6}=2x-1\) (1)

\(\Leftrightarrow\) \(\begin{cases}2x-1\ge0\\x^2-6x+6=\left(2x-1\right)^2\end{cases}\)

\(\Leftrightarrow\) \(\begin{cases}x\ge\frac{1}{2}\\3x^2+2x-5=0\end{cases}\)

\(\Leftrightarrow\begin{cases}x\ge\frac{1}{2}\\x=1;x=-\frac{5}{3}\end{cases}\) 

\(\Leftrightarrow x=1\)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm \(x=1\)

Bất phương trình tương đương với :

\(\left(\frac{4}{5}\right)^x+\left(\frac{3}{5}\right)^x>1\)

Xét hàm số \(f\left(x\right)=\left(\frac{4}{5}\right)^x+\left(\frac{3}{5}\right)^x;f'\left(x\right)=\left(\frac{4}{5}\right)^x\ln\frac{4}{5}+\left(\frac{3}{5}\right)^x\ln\frac{3}{5}\)

Suy ra hàm số đồng biến trên R

Do đó bất phương trình \(\Leftrightarrow f\left(x\right)>f\left(2\right)\Leftrightarrow x< 2\)

Vậy BPT có tập nghiệm \(S=\left(-\infty;2\right)\)