Bài 1 : 1 số tự nhiên chẵn chia hết cho 2. Một số tự nhiên lẻ thì chia cho 2 dư 1. Điều này có nghĩa :

a \(\in\)N, a chẵn thì a= 2k với k\(\in\)N

a \(\in\)N, a lẻ thì a=2m +1 với m \(\in\)N

Chứng minh các điều khẳng định sau đây :

a) Tổng của hai số lẻ là một số chẵn

b) Tổng của một số lẻ và một số chẵn là một số lẻ

c) Tích của hai số chẵn là một số chẵn

d) Tích của một số lẻ và một số chẵn là một số chẵn

e) Tích của hai số lẻ là một số lẻ

1/ Tổng của 2 số là 135, ƯCLN của chúng là 27. Tìm 2 số đó, biết 2 số đó là 2 số tự nhiên.

2/ Có nhiều cặp số tự nhiên mà tổng của chúng bằng 252 và ƯCLN của chúng bằng 36. Tìm cặp số tự nhiên có tích lớn nhất.

3/ Chứng minh rằng abcabc chia hết cho 7, 11, 13.

4/ Chứng minh rằng:

a) Tổng hoặc hiệu của hai số chẵn là một số chẵn.

b) Tổng hoặc hiệu của hai số lẻ là một số chẵn.

c) Tổng hoặc hiệu của một số lẻ và một số chẵn là một số lẻ.

d) Tích của hai hay nhiều số chẵn là một số chẵn.

e) Tích của hai hay nhiều số lẻ là một số lẻ.

f) Tích của nhiều số tự nhiên là một số chẵn nếu tích có một thừa số chẵn.

a) Nếu tổng của hai số tự nhiên là một số lẻ thì tích của chúng có chia hết cho 2 không.

b) Chứng tỏ rằng với hai số tự nhiên bất kỳ khi chia cho m có cùng số dư thì hiệu của chúng chia hết cho m và ngược lại.

c) Chứng tỏ rằng với 6 số tự nhiên bất kỳ luôn có ít nhất hai số tự nhiên mà hiệu của chúng chia hết cho 5.

d) Chứng tỏ rằng tổng của 5 số tự nhiên liên tiếp không chia hết cho 4.

e) Chứng tỏ rằng tổng của 2 số chẵn  liên tiếp luôn chia hết cho 8.

g) Cho 4 số tự nhiên không chia hết chia hết cho 5 , khi chia cho 5 được những số dư kháu nhau . Chứng minh rằng tổng của chúng chia hết cho 5.

h) Chứng minh rằng không có số tự nhiên nào mà chia cho 15 dư 6 còn chia 9 thì dư 1.