Câu f:

F = 1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + n(n + 1)

F = 1[1.2.3 + 2.3.3 + 3.4.3 + ... + n.(n+1).3].1/3

F = [1.2.3 +2.3.(4-1) + 3.4.(5-2) +..+n(n+1).(n+2-n-1)].1/3

F = [1.2.3+2.3.4-1.2.3+...+n(n+1)(n+2)-(n-1).n.(n+1)].1/3

F= n.(n+1).(n+2)/3

g) G= 1.2.3+2.3.4+3.4.5+...+99.100.101

4G =1.2.3.4 + 2.3.4.4 + ...+99.100.101.4

4G =1.2.3.4 + 2.3.4.(5-1) + ...+99.100.101.(102-98)

4G = 1.2.3.4 +2.3.4.5- 1.2.3.4+...+99.100.101.102-98.99.100.101

4G = 99.100.101.102

G = 99.100.101.102/4

Ta có: \(A=1\cdot99+2\cdot98+3\cdot97+\cdots+98\cdot2+99\cdot1\)

\(=2\left(1\cdot99+2\cdot98+\cdots+49\cdot51\right)+50\cdot50\)

\(=2\left\lbrack1\left(100-1\right)+2\left(100-2\right)+\cdots+49\left(100-49\right)\right\rbrack+2500\)

\(=2\cdot\left\lbrack100\left(1+2+\cdots+49\right)-\left(1^2+2^2+\cdots+49^2\right)\right\rbrack+2500\)

\(=2\cdot\left\lbrack100\cdot\frac{49\cdot50}{2}-\frac{49\cdot\left(49+1\right)\left(2\cdot49+1\right)}{6}\right\rbrack+2500\)

\(=2\left\lbrack50\cdot49\cdot50-\frac{49\cdot50\cdot99}{6}\right\rbrack+2500\)

\(=2\cdot\left\lbrack49\cdot50\cdot50-49\cdot25\cdot33\right\rbrack+2500\)

\(=2\cdot49\cdot25\cdot\left(2\cdot50-33\right)+2500\)

\(=49\cdot50\cdot67+2500=166650\)

Ta có: \(B=1\cdot2\cdot3+2\cdot3\cdot4+\ldots+17\cdot18\cdot19\)

\(=2\left(2-1\right)\left(2+1\right)+3\left(3-1\right)\left(3+1\right)+\cdots+18\left(18-1\right)\left(18+1\right)\)

\(=2\cdot\left(2^2-1\right)+3\left(3^2-1\right)+\cdots+18\left(18^2-1\right)\)

\(=\left(2^3+3^3+\cdots+18^3\right)-\left(2+3+\cdots+18\right)\)

\(=\left(1^3+2^3+\cdots+18^3\right)-\left(1+2+3+\cdots+18\right)\)

\(=\left(1+2+\cdots+18\right)^2-\left(1+2+\cdots+18\right)\)

\(=\left(18\cdot\frac{19}{2}\right)^2-18\cdot\frac{19}{2}=\left(9\cdot19\right)^2-9\cdot19=29070\)

Ta có: \(C=1\cdot4+2\cdot5+\cdots+100\cdot103\)

\(=1\left(1+3\right)+2\left(2+3\right)+\cdots+100\cdot\left(100+3\right)\)

\(=\left(1^2+2^2+\cdots+100^2\right)+3\left(1+2+\cdots+100\right)\)

\(=\frac{100\left(100+1\right)\left(2\cdot100+1\right)}{6}+\frac{3\cdot100\cdot101}{2}\)

\(=\frac{100\cdot101\cdot201}{6}+\frac{3\cdot100\cdot101}{2}=50\cdot101\cdot67+3\cdot50\cdot101\)

\(=50\cdot101\cdot70=3500\cdot101=353500\)

Ta có: \(D=1\cdot3+2\cdot4+3\cdot5+\cdots+97\cdot99+98\cdot100\)

\(=1\left(1+2\right)+2\left(2+2\right)+3\left(3+2\right)+\cdots+97\cdot\left(97+2\right)+98\cdot\left(98+2\right)\)

\(=\left(1^2+2^2+\cdots+98^2\right)+2\cdot\left(1+2+3+\cdots+98\right)\)

\(=\frac{98\cdot\left(98+1\right)\left(2\cdot98+1\right)}{6}+2\cdot\frac{98\cdot99}{2}\)

\(=\frac{98\cdot99\cdot197}{6}+98\cdot99=49\cdot33\cdot197+98\cdot99=49\cdot33\left(197+2\cdot3\right)\)

\(=49\cdot33\cdot203=328251\)

a; A  =1 + 2 +3+ 4+ 5+ ... +n

Xét dãy số 1; 2; 3; 4;5;...;n

Dãy số trên là dãy số cách đều với khoảng cách là: 2 - 1 = 1

Số số hạng của dãy số trên là: (n - 1) : 1 + 1 = n (số số hạng)

Tổng của dãy số trên là: (n + 1).n x 2 

A = (n + 1).n:2

B = 1 + 3 + 5+ 7+ ...+ (2n - 1)

Dãy số trên là dãy số cách đều với khoảng cách là: 

     3 - 1 = 2

Số số hạng của dãy số trên là: (2n - 1 - 1) : 2 + 1 = n

Tổng của dãy số trên là:    (2n - 1 + 1) x n : 2 = n²

Vậy B = n²

A = 1.100 + 2.99 + 3.98 + 98.3 + 99.2 + 100.1

1.100 = 1.100 = 1.100

2.99 = 2.(100 - 1) = 2.100 - 1.2

3.98 = 3.(100 - 2) = 3.100 - 2.3

4.97 = 4.(100 - 3) = 4.100 = 3.4

...............................................................

100.1 = 100.(100 - 99) = 100.100 - 99.100

Cộng vế với vế ta có:

A = 1.100+2.100+...+99.100+100.100 - (1.2 +2.3+ 3.4+...+99.100)

Đặt B = 1.100 + 2.100+...+99.100 + 100.100

C = 1.2 + 2.3 + 3.4 +...+ 99.100

A = B - C

B = 1.100 + 2.100 + ...+ 99.100 + 100.100

B = 100.(1+ 2+ ... + 99+ 100)

B = 100.(100 + 1) x 100 : 2

B = 505000

C = 1.2 + 2.3 + 3.4 +...+ 99.100

3C = 1.2.3 + 2.3.3 +..+99.100.3

1.2.3 = 1.2.3

2.3.3 = 2.3.(4 - 1) = 2.3.4 - 1.2.3

99.100.3 = 99.100.(101 - 98)=99.100.101-98.99.100

Cộng vế với vế ta có:

3C = 99.100.101

C = 99.100.101 : 3

C = 333300

A = B - C

A = 505000 - 333300

A = 171700

Câu b:

A = 9+99+ 999+...+9999...99(1000 chữ số 9)

9 = - 1 + 10

99 = - 1 + 100

999 = - 1 + 1000

...............................

999...999 = -1 + 1000...00(1000 chữ số 0)

Cộng vế với vế ta có:

B = - 1 x 1000 + 11111...10(1000 chữ số 1)

B = 111....110110 (999 chữ số 1)

\(F=\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{\left(n-1\right)n}=\frac{n-1}{n}\)

\(\Rightarrow F=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{\left(n-1\right)}-\frac{1}{n}\)

\(\Rightarrow F=1-\frac{1}{n}=\frac{n}{n}-\frac{1}{n}=\frac{n-1}{n}\left(đpcm\right)\)

\(H=2+4+6+...+2n\)

https://olm.vn/hoi-dap/tim-kiem?q=t%C3%ADnh+t%E1%BB%95ng+sau+:S+=+1.2.3+2.3.4+3.4.5+...+n.(n+1).(n+2)+&id=601088

a)  A =(2n-1+1).(2n-1)/2=2n.(2n-1)/2=n(2n-1)

b)  B= 1.2+2.3+3.4+...+n(n+1)

3B=1.2.3+2.3.(4-1)+3.4.(5-2)+...+n(n+1)[(n+2)-(n-1)]

3B=1.2.3-1.2.3+2.3.4-2.3.4+...+n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)

3B=n(n+1)(n+2)

B=n(n+1)(n+2)/3

4C=1.2.3.4+2.3.4.(5-1)+3.4.5(6-2)+...+n(n+1)(n+2).[(n+3)-(n-1)]

4C=1.2.3.4-1.2.3.4+2.3.4.5-2.3.4.5+...+n(n+1)(n+2)(n+3)-(n-1)n(n+1)(n+2)

4C=n(n+1)(n+2)(n+3)

C=n(n+1)(n+2)(n+3)/4

Câu b1 nếu mà là (n-1) thì sao