ta có:

t₁=\(\frac{S_1}{v_1}=\frac{S}{2v_1}\)

\(t_2=\frac{S_2}{v_2}=\frac{S}{2v_2}\)

vận tốc trung bình của nhười đó là:

\(v_{tb}=\frac{S}{t_1+t_2}=\frac{S}{\frac{S}{2v_1}+\frac{S}{2v_2}}=\frac{1}{\frac{1}{2v_1}+\frac{1}{2v_2}}=\frac{1}{\frac{v_2+v_1}{2v_1v_2}}=\frac{2v_1v_2}{v_2+v_1}\)

lấy v_tb-trung bình cộng 2 v ta có:

\(\frac{2v_1v_2}{v_1+v_2}-\frac{v_1+v_2}{2}=\frac{4v_1v_2-v_1^2-2v_1v_2-v_2^2}{2\left(v_1+v_2\right)}=\frac{-\left(v_1^2-2v_1v_2+v_2^2\right)}{2\left(v_1+v_2\right)}\)

\(=\frac{-\left(v_1-v_2\right)^2}{2\left(v_1+v_2\right)}\)

mà (v₁-v₂)²>0 nên

-(v₁-v₂)²<0 và 2*(v₂+v₁)>0 nên ta suy ra

vận tốc trung bình này ko bao giờ lớn hơn trung bình cộng của hai vận tốc v₁ và v₂

ta có:

t₁=S1v1=S2v1S1v1=S2v1

t2=S2v2=S2v2t2=S2v2=S2v2

vận tốc trung bình của nhười đó là:

vtb=St1+t2=SS2v1+S2v2=112v1+12v2=1v2+v12v1v2=2v1v2v2+v1vtb=St1+t2=SS2v1+S2v2=112v1+12v2=1v2+v12v1v2=2v1v2v2+v1

lấy v_tb-trung bình cộng 2 v ta có:

2v1v2v1+v2−v1+v22=4v1v2−v21−2v1v2−v222(v1+v2)=−(v21−2v1v2+v22)2(v1+v2)2v1v2v1+v2−v1+v22=4v1v2−v12−2v1v2−v222(v1+v2)=−(v12−2v1v2+v22)2(v1+v2)

=−(v1−v2)22(v1+v2)=−(v1−v2)22(v1+v2)

mà (v₁-v₂)²>0 nên

-(v₁-v₂)²<0 và 2*(v₂+v₁)>0 nên ta suy ra

vận tốc trung bình này ko bao giờ lớn hơn trung bình cộng của hai vận tốc v₁ và v₂

Gọi s là độ dài nửa quãng đường. Ta có thời gian đi nửa quãng đường đầu là:

\(t_1=\dfrac{s}{v_1}\)

Gọi thời gian ô tô đi nửa phần còn lại là \(t_2\) và  và \(t_2=t_3\)

Thời gian ô tô đi được trong mỗi đoạn này là:

\(s_2=v_2t_2\)

\(s_3=v_3t_3\)

Mà: \(t_2=t_3=\dfrac{s}{v_2+v_3}\)

Vận tốc \(v_3\) là:

\(v_{tb}=\dfrac{2v_1\left(v_2+v_3\right)}{v_2+v_3+2v_1}\) hay \(40=\dfrac{2\cdot30\cdot\left(45+v_3\right)}{45+v_3+2\cdot30}\)

\(\Leftrightarrow40=\dfrac{60\left(45+v_3\right)}{105+v_3}\)

\(\Leftrightarrow40\left(105+v_3\right)=60\left(45+v_3\right)\)

\(\Leftrightarrow2\left(105+v_3\right)=3\left(45+v_3\right)\)

\(\Leftrightarrow210+2v_3=135+3v_3\)

\(\Leftrightarrow3v_3-2v_3=210-135\)

\(\Leftrightarrow v_3=75\left(km/h\right)\)

a) Thời gian vật đi hết quãng đường trên:

\(t_{tổng}=t_1+t_2=\dfrac{S_1}{v_1}+\dfrac{S_2}{v_2}=\dfrac{520:2}{5}+\dfrac{520:2}{7}=\dfrac{624}{7}\left(s\right)\)

b) Thời gian vật đi quãng đường T1 và quãng đường T2:

\(\left\{{}\begin{matrix}t_1=\dfrac{S_1}{v_1}=\dfrac{520:2}{5}=52\left(s\right)\\t_2=\dfrac{S_2}{v_2}=\dfrac{520:2}{7}=\dfrac{260}{7}\left(\dfrac{m}{s}\right)\end{matrix}\right.\)

Vận tốc trung bình trên cả quãng đường:

\(v_{tb}=\dfrac{S_1+S_2}{t_1+t_2}=\dfrac{520}{52+\dfrac{260}{7}}=\dfrac{35}{6}\left(\dfrac{m}{s}\right)\)

tgian ô tô 1 đi trên cả quãng đường là :
t1=\(\frac{l}{2.v1}+\frac{l}{2.v2}=\frac{v2.l+v1.l}{2.v1.v2}=\frac{l(v2+v1)}{2.v1.v2}\) (h)
*Vận tốc tb của ô tô 2 trên cả quãng đường là :
Vtb=\(\frac{l}{t2}=\frac{v1.\frac{t2}{2}+v2.\frac{t2}{2}}{\frac{2.t2}{2}}=\frac{v1+v2}{2}\) (km/h)
Tgian ô tô 2 trên cả quãng đường là :

t2=\(\frac{l}{Vtb}=\frac{l}{\frac{v1+v2}{2}}=\frac{2l}{v1+v2}\) (h)
Vậy ta có : (v1 khác v2)
t=t1-t2=\(\frac{l\left(v2+v1\right)}{2.v1.v2}-\frac{2l}{v1+v2}=\frac{l\left(v1+v2\right)^2-4l.v1v2}{2.v1v2.\left(v1+v2\right)}\) \(=\frac{l\left(v1-v2\right)^2}{2.v1v2.\left(v1+v2_{}\right)}\)
Vì thế t>0 => t1>t2 vậy xe 2 đến B trước xe 1 trong khoẳng tgian t=\(\frac{l\left(v1-v2\right)^2}{2.v1v2.\left(v1+v2_{}\right)}\) (h)

Vận tốc trung bình của xe trên quãng đường còn lại là

\(v'=\dfrac{t\left(\dfrac{2v_2}{3}+\dfrac{v_3}{3}\right)}{t}=\dfrac{1\left(\dfrac{2\cdot50}{3}+\dfrac{40}{3}\right)}{1}=\dfrac{140}{3}\left(\dfrac{km}{h}\right)\)

Vận tốc trung bình trên cả quảng đường là

\(v=\dfrac{s}{s\left(\dfrac{1}{3v_1}+\dfrac{2}{3v'}\right)}=\dfrac{1}{1\left(\dfrac{1}{3\cdot60}+\dfrac{2}{3\cdot\dfrac{140}{3}}\right)}=50,4\left(\dfrac{km}{h}\right)\)