\(x^2-4x-5>0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x>5\\x< -1\end{matrix}\right.\)

Xét pt: \(x^2-\left(m-1\right)x-m\le0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+1\right)\left(x-m\right)\le0\) (1)

- Với \(m=-1\) hệ BPT vô nghiệm

- Với \(m>-1\Rightarrow\left(1\right)\Leftrightarrow-1< x< m\)

Để hệ BPT có nghiệm \(\Leftrightarrow m>5\)

- Với \(m< -1\) \(\Leftrightarrow\left(1\right)\Leftrightarrow m< x< -1\)

Hệ BPT luôn có nghiệm

Vậy để hệ BPT có nghiệm thì \(\left[{}\begin{matrix}m>5\\m< -1\end{matrix}\right.\)

Với \(m=0\) hệ có nghiệm \(x=1\)

Với \(m\ne0\)

Xét \(x^2-2x+1-m\le0\) (1)

\(\Delta'=m\Rightarrow\) để (1) có nghiệm thì \(m>0\Rightarrow1-\sqrt{m}\le x\le1+\sqrt{m}\) (3)

Xét \(f\left(x\right)=x^2-2\left(m+1\right)x+m^2+m\le0\) (2)

\(\Delta'=\left(m+1\right)^2-\left(m^2+m\right)=m+1\)

Với \(m>0\Rightarrow\) (2) có nghiệm \(m+1-\sqrt{m+1}\le x\le m+1+\sqrt{m+1}\) (4)

Khi \(m>0\Rightarrow m+1+\sqrt{m+1}>1+\sqrt{m}\)

\(\Rightarrow\) Để (3) giao (4) khác rỗng

\(\Leftrightarrow m+1-\sqrt{m+1}\le1+\sqrt{m}\)

\(\Leftrightarrow m-\sqrt{m}\le\sqrt{m+1}\)

- Với \(0< m\le1\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}VP>0\\VT\le0\end{matrix}\right.\) BPT luôn đúng

- Với \(m>1\) bình phương 2 vế:

\(\Leftrightarrow m^2-2m\sqrt{m}+m\le m+1\)

\(\Leftrightarrow m^2-2m\sqrt{m}-1\le0\)

\(t=\sqrt{m}\Rightarrow t^4-2t^3-1\le0\)

Rất tiếc BPT này ko giải được ^.^

\(x^2-2x+1-m>0\) với mọi x \(\Leftrightarrow\Delta'< 0\Leftrightarrow1-1+m< 0\Leftrightarrow m< 0\)

Vậy để \(x^2-2x+1-m\le0\) với mọi x \(\Leftrightarrow m\ge0\)

Xét \(x^2-\left(2m+2\right)x+m^2+m\)

Để \(x^2-2\left(m+1\right)x+m^2+m>0\Leftrightarrow\Delta'< 0\)

\(\Leftrightarrow m^2+2m+1-m^2-m< 0\Leftrightarrow m< -1\)

Vậy để \(x^2-2\left(m+1\right)x+m^2+m\le0\Leftrightarrow m\ge-1\)

Kết hợp lại ta có \(m\ge0\)

\(x^2-\left(2m+1\right)x+m^2+m\le0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-m\right)\left(x-m-1\right)\le0\)

\(\Rightarrow m\le x\le m+1\)

Để hệ có nghiệm \(\Leftrightarrow f\left(x\right)=x^2-2x+1\le m\left(1\right)\) có nghiệm thuộc \(\left[m;m+1\right]\)

\(\Leftrightarrow m\ge\min\limits_{\left[m;m+1\right]}\left(x^2-2x+1\right)\)

- TH1: \(m\le1\le m+1\Rightarrow0\le m\le1\)

\(\Rightarrow f\left(x\right)_{min}=f\left(1\right)=0\Rightarrow m\ge0\Rightarrow0\le m\le1\)

- TH2: \(m>1\Rightarrow f\left(x\right)\) đồng biến trên \(\left[m;m+1\right]\)

\(\Rightarrow f\left(x\right)_{min}=f\left(m\right)=m^2-2m+1\)

\(\Rightarrow m\ge m^2-2m+1\Leftrightarrow m^2-3m+1\le0\)

\(\Rightarrow\frac{3-\sqrt{5}}{2}\le m\le\frac{3+\sqrt{5}}{2}\)

Kết hợp điều kiên \(\Rightarrow1< m\le\frac{3+\sqrt{5}}{2}\)

Vậy với \(0\le m\le\frac{3+\sqrt{5}}{2}\) thì BPT đã cho có nghiệm

b) Bất phương trình đầu của hệ có nghiệm là $x>1$

Xét bất phương trình thứ hai của hệ. Ta có: \(\Delta'=m^2-1\)

\(\circledast\Delta'=0\Leftrightarrow m=\pm1\)

- Với $m=1$, nghiệm của bất phương trình là $m=1$. Do đó, hệ vô nghiệm

- Với $m=-1$, nghiệm của bất phương trình là $m=-1$. Do đó, hệ vô nghiệm

\(\circledast\)Nếu \(\Delta'< 0\) hay $-1<m<1$ thì bất phương trình này vô nghiệm. Do đó, hệ vô nghiệm

\(\circledast\)Nếu \(\Delta'>0\) hay $m<-1$ hoặc $m>1$ thì tam thức ở vế trái của bất phương trình này có hai nghiệm phân biệt \(x_1,x_2\). Nghiệm của bất phương trình này là:

\(x_1\le x\le x_2\left(x_1< x_2\right)\)

Theo định lí Vi-ét, ta có \(x_1x_2=1,x_1+x_2=2m\)

- Nếu $m<-1$ thì cả hai nghiệm \(x_1,x_2\) đều âm. Do đó, hệ vô nghiệm

- Nếu $m>1$ thì hai nghiệm \(x_1,x_2\) đều dương. Ngoài ra, vì \(x_1x_2=1\) và \(x_1\ne x_2\) nên \(x_1< 1< x_2\). Do đó, hệ có nghiệm

Vậy hệ bất phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi \(m>1\)

giải cho mình câu b với mọi người ơi :(

\(2x^2-7x+3\le0\Rightarrow\frac{1}{2}\le x\le3\) (1)

Xét \(x^2-kx+k\le0\) có \(\Delta=k^2-4k\)

- Với \(0< k< 4\Rightarrow\Delta< 0\Rightarrow x^2-kx+k>0\) \(\forall x\)

\(\Rightarrow BPT\) vô nghiệm

- Với \(\left[{}\begin{matrix}k\le0\\k\ge4\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\) nghiệm của BPT là: \(\frac{k-\sqrt{k^2-4k}}{2}\le x\le\frac{k+\sqrt{k^2-4k}}{2}\) (2)

Hệ vô nghiệm khi (1) và (2) giao nhau bằng rỗng

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}\frac{k+\sqrt{k^2-4k}}{2}< \frac{1}{2}\\\frac{k-\sqrt{k^2-4k}}{2}>3\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\sqrt{k^2-4k}< 1-k\\\sqrt{k^2-4k}< k-6\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}k^2-4k< \left(1-k\right)^2\\k^2-4k< \left(k-6\right)^2\end{matrix}\right.\) (điều kiện dòng trên là \(k\le1\), dòng dưới là \(k\ge6\))

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}2k+1>0\\-2k+9>0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}k>-\frac{1}{2}\\k< \frac{9}{2}\left(l\right)\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow-\frac{1}{2}< k\le1\)

Kết hợp \(\left[{}\begin{matrix}k\ge4\\k\le0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow-\frac{1}{2}< k\le0\)

Vậy \(-\frac{1}{2}< k< 4\)