1/1*2*3 + 1/2*3*4+ 1/3*4*5 + ... + 1/2018*2019*2020

= 1/2(2/1*2*3 + 2/2*3*4 + 2/3*4*5 + ... + 2/2018*2019*2020)

= 1/2(1/1*2 - 1/2*3 + 1/2*3 - 1/3*4 + 1/3*4 - 1/4*5 + ... + 1/2018*2019 - 1/2019*2020)

= 1/2(1/2 - 1/2019*2020)

tự tính

\(\frac{1}{1\cdot2\cdot3}+\frac{1}{2\cdot3\cdot4}+\frac{1}{3\cdot4\cdot5}+...+\frac{1}{2018\cdot2019\cdot2020}\)

\(=\frac{1}{2}\left[\frac{2}{1\cdot2\cdot3}+\frac{2}{2\cdot3\cdot4}+\frac{2}{3\cdot4\cdot5}+...+\frac{2}{2018\cdot2019\cdot2020}\right]\)

\(=\frac{1}{2}\left[\frac{1}{1\cdot2}-\frac{1}{2\cdot3}+\frac{1}{2\cdot3}-\frac{1}{3\cdot4}+...+\frac{1}{2018\cdot2019}-\frac{1}{2019\cdot2020}\right]\)

Đến đây tự tính được rồi:v

   Đặt tổng trên là A

Ta có:

\(2A=2\left(\frac{1}{1\cdot2\cdot3}+\frac{1}{2\cdot3\cdot4}+...+\frac{1}{2018\cdot2019\cdot2020}\right)\)

\(=\frac{2}{1\cdot2\cdot3}+\frac{2}{2\cdot3\cdot4}+...+\frac{2}{2018\cdot2019\cdot2020}\)

\(=\frac{1}{1\cdot2}-\frac{1}{2\cdot3}+\frac{1}{2\cdot3}-\frac{1}{3\cdot4}+...+\frac{1}{2018\cdot2019}-\frac{1}{2019\cdot2020}\)

\(=\frac{1}{2}-\frac{1}{2019\cdot2020}\)

\(A=\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2019\cdot2020}\right)\div2\)

        *Làm tiếp*

                                          \(#Louis\)

Tính số hẳn ra à

Mik chịu chết

Học tốt ~

\(S=\frac{1}{1.2.3}+\frac{1}{2.3.4}+...+\frac{1}{23.24.25}\)

\(S=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{1.2}-\frac{1}{2.3}+\frac{1}{2.3}-\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{23.24}-\frac{1}{24.25}\right)\)

\(S=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{24.25}\right)\)

\(S=\frac{1}{4}-\frac{1}{24.50}\)

Dễ thấy với mọi số tự nhiên n > 1 , ta có :

\(\frac{2}{\left(n-1\right).n.\left(n+1\right)}=\frac{\left(n+1\right)-\left(n-1\right)}{\left(n-1\right).n.\left(n+1\right)}=\frac{1}{\left(n-1\right).n}-\frac{1}{n.\left(n+1\right)}\)

Sử dụng  hệ thức trên cho từng số hạng trong tổng sau :

\(2S=\frac{2}{1.2.3}+\frac{2}{2.3.4}+...+\frac{2}{\left(n-1\right).n.\left(n+1\right)}+\frac{2}{23.24.25}\)

     \(=\frac{1}{1.2}-\frac{1}{2.3}+\frac{1}{2.3}-\frac{1}{3.4}+....+\frac{1}{\left(n-1\right).n}-\frac{1}{n.\left(n+1\right)}+...+\frac{1}{23.24}-\frac{1}{24.25}\)

Để ý rằng trong vế phải của hệ thức trên , trừ 2 số hạng đầu và cuối , các số hạng còn lại tạo thành từng cặp đối nhau.

Do đó , có thể rút gọn : 

\(2S=\frac{1}{1.2}-\frac{2}{24.25}=\frac{299}{600}\)

Vậy , ta được \(S=\frac{299}{600}\)

Đặt S=A

Ta có: \(\frac{3n+2}{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}\)

\(=\frac{2n+2+n}{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}=\frac{2\left(n+1\right)}{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}+\frac{n}{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}\)

\(=\frac{2}{n\left(n+2\right)}+\frac{1}{\left(n+1\right)\left(n+2\right)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}+\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}\)

\(=\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}-\frac{2}{n+2}\)

Do đó, ta có: \(\frac{5}{1\cdot2\cdot3}=\frac{3\cdot1+2}{1\cdot2\cdot3}=\frac11+\frac{1}{1+1}-\frac{2}{1+2}=1+\frac12-\frac23\)

\(\frac{8}{2\cdot3\cdot4}=\frac{3\cdot2+2}{2\cdot3\cdot4}=\frac12+\frac13-\frac24\)

...

Do đó, ta có: \(S=1+\frac12-\frac23+\frac12+\frac13-\frac24+\frac13+\frac14-\frac25+\ldots+\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}-\frac{2}{n+2}\)

\(=1+\left(\frac12+\frac12\right)+\left(-\frac23+\frac13+\frac13\right)+\left(-\frac24+\frac14+\frac14\right)+\cdots+\left(-\frac{2}{n}+\frac{1}{n}+\frac{1}{n}\right)-\frac{2}{n+1}+\frac{1}{n+1}-\frac{2}{n+2}\)

\(=1+1-\frac{1}{n+1}-\frac{2}{n+2}<2\)

=>\(S_{2018}<2\)

1-1/2-1/3+1/2-1/3-1/4+1/3-1/4-1/5+...+1/37-1/38-1/39

=1-1/39

=38/39

\(B=\frac{1}{1.2.3}+\frac{1}{2.3.4}+...+\frac{1}{98.99.100}\)

\(2B=\frac{2}{1.2.3}+\frac{2}{2.3.4}+...+\frac{2}{98.99.100}\)

       \(=\frac{1}{1.2}-\frac{1}{2.3}+\frac{1}{2.3}-\frac{1}{3.4}+....+\frac{1}{98.99}-\frac{1}{99.100}\)

       \(=\frac{1}{1.2}-\frac{1}{99.100}=\frac{1}{2}-\frac{1}{9900}=\frac{4949}{9900}\)

Giải: Đặt A = 1/1.2.3 + 1/2.3.4 + 1/3.4.5 + ... + 1/98.99.100 
Áp dụng phương pháp khử liên tiếp: viết mỗi số hạng thành hiệu của hai số sao cho số trừ ở nhóm trước bằng số bị trừ ở nhóm sau. 
Ta xét: 
1/1.2 - 1/2.3 = 2/1.2.3; 1/2.3 - 1/3.4 = 2/2.3.4;...; 1/98.99 - 1/99.100 = 2/98.99.100 
Tổng quát: 1/n(n+1) - 1/(n+1)(n+2) = 2/n(n+1)(n+2). Do đó: 
2A = 2/1.2.3 + 2/2.3.4 + 2/3.4.5 +...+ 2/98.99.100 
= (1/1.2 - 1/2.3) + (1/2.3 - 1/3.4) +...+ (1/98.99 - 1/99.100) 
= 1/1.2 - 1/2.3 + 1/2.3 - 1/3.4 + ... + 1/98.99 - 1/99.100 
= 1/1.2 - 1/99.100 
= 1/2 - 1/9900 
= 4950/9900 - 1/9900 
= 4949/9900. 
Vậy A = 4949/9900