Đáp án A

ABCD là hình thanh cân có AB = BC = CD = a; AD = 2a nên M là tâm của đáy ABCD.

SA = AD = 2a; SA ⊥ (ABCD) => tam giác SAD vuông cân tại A nên tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD là trung điểm N của SD

Gọi hình thang cân $ABCD$ có đáy $AD = 2a$, $AB = BC = CD = a$.

Đỉnh $S$ vuông góc với mặt phẳng đáy và $SA = 2a$, nên $S$ nằm thẳng đứng trên mặt đáy.

Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABCD$ là nửa khoảng cách giữa hai đỉnh đối nhau lớn nhất của chóp.

Xét các đỉnh: đỉnh cao $S$ và các đỉnh đáy. Đường chéo dài nhất từ $S$ đến một đỉnh đáy xa nhất. Giả sử $S$ trên đường thẳng đi qua trung điểm $AD$.

Chiều dài đường chéo lớn nhất: $SC$ (vì $C$ nằm xa $S$ nhất trong mặt đáy).

- Đặt hệ trục: $A(-a,0,0), D(a,0,0), B(-\frac{a}{2},h,0), C(\frac{a}{2},h,0)$, với $h$ là chiều cao của hình thang đáy.

- Tính $h$: $AB = BC = a$, $AD = 2a$, hình thang cân ⇒ $h = \sqrt{AB^2 - \left(\frac{AD - BC}{2}\right)^2} = \sqrt{a^2 - \left(\frac{2a - a}{2}\right)^2} = \sqrt{a^2 - \frac{a^2}{4}} = \frac{a\sqrt{3}}{2}$

Tọa độ $S$ trên trục vuông góc: $S(0,0,2a)$, $C(\frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{2}, 0)$

Khoảng cách $SC = \sqrt{ \left(\frac{a}{2} - 0\right)^2 + \left(\frac{a\sqrt{3}}{2} - 0\right)^2 + (0 - 2a)^2 }

= \sqrt{ \frac{a^2}{4} + \frac{3a^2}{4} + 4a^2 } = \sqrt{a^2 + 4a^2} = \sqrt{5} a$

Bán kính mặt cầu ngoại tiếp: $R = \dfrac{SC}{2} = \dfrac{a \sqrt{5}}{2}$

Diện tích mặt cầu:

$S = 4 \pi R^2 = 4 \pi \left(\dfrac{a \sqrt{5}}{2}\right)^2 = 4 \pi \cdot \dfrac{5 a^2}{4} = 5 \pi a^2$

\(V=\dfrac{1}{3}SA.S_{ABCD}=\dfrac{1}{3}SA.\dfrac{1}{2}\left(AD+BC\right).AB=a^3\)

Đáp án C

Đáy $ABCD$ là hình chữ nhật nên:
$S_{ABCD} = AB \cdot AD = a \cdot 2a = 2a^2$.

Vì $SA \perp (ABCD)$ và $SA = 3a$ nên chiều cao của khối chóp là $3a$.

Thể tích hình chóp:

$V = \dfrac{1}{3} \cdot S_{ABCD} \cdot SA = \dfrac{1}{3} \cdot 2a^2 \cdot 3a = 2a^3$.

Đáp án: C. $2a^3$

Ta có \(\frac{d\left(A,\left(SCD\right)\right)}{d\left(M,\left(SCD\right)\right)}=2\Rightarrow d=\left(m,\left(SCD\right)\right)=\frac{1}{2}d\left(A,\left(SCD\right)\right)\)

Dễ thấy AC _|_ CD, SA _|_ CD dựng AH _|_ SA => AH _|_ (SCD)

Vậy d(A,(SCD))=AH

Xét tam giác vuông SAC (A=1v) có \(\frac{1}{AH^2}=\frac{1}{AC^2}+\frac{1}{AS^2}\Rightarrow AH=\frac{a\sqrt{6}}{3}\)

Vậy suy ra \(d\left(M,\left(SCD\right)\right)=\frac{a\sqrt{6}}{3}\)

$E=AB\cap CD,G=EN\cap SB\Rightarrow G$ là trọng tâm tam giác SAE.

$d\left(M,\left(NCD\right)\right)=\frac{GM}{GB}d\left(B,\left(NCD\right)\right)=\frac{1}{2}d\left(B,\left(NCD\right)\right)=\frac{1}{2}.\frac{1}{2}d\left(A,\left(NCD\right)\right)=\frac{1}{4}d\left(A,\left(NCD\right)\right)=\frac{}{}$

1: SA vuông góc (ABCD)

=>SA vuông góc AB

=>ΔSAB vuông tại A

SA vuông góc (ABCD)

=>SA vuông góc AD

=>ΔSAD vuông tại A

4: (SD;(ABCD))=(DS;DA)=góc SDA

tan SDA=SA/AD=1/2

=>góc SDA=27 độ

(SC;(ABCD))=(CS;CA)=góc SCA

AC=căn a^2+a^2=a*căn 2

tan SCA=SA/AC=1/căn 2
=>góc SCA=35 độ

Đáy $ABCD$ là hình thang vuông tại $A,B$ nên:

$AB \perp AD,\ AB \perp BC$.

Lại có $SA \perp (ABCD)$ nên:

$SA \perp AB,\ SA \perp AD,\ SA \perp BC$.

Xét các mặt bên:

Xét $\triangle SAB$:

$SA \perp AB \Rightarrow \triangle SAB$ vuông tại $A$.

Xét $\triangle SAD$:

$SA \perp AD \Rightarrow \triangle SAD$ vuông tại $A$.

Xét $\triangle SBC$:

Ta có $AB \perp BC$ và $SA \perp BC$ nên $BC \perp (SAB)$.

Suy ra $BC \perp SB \Rightarrow \triangle SBC$ vuông tại $B$.

Xét $\triangle SCD$:

Vì $CD \parallel AB$ nên $SA \perp CD$.

Do đó $\triangle SCD$ vuông tại $S$.

Vậy các mặt bên của hình chóp đều là các tam giác vuông.

Tham khảo

thanks

Đặt hệ trục tọa độ:

$A(0,0,0), B(a,0,0), D(0,2a,0), C(a,2a,0)$.

Đỉnh $S$ vuông góc với mặt đáy và $SA = 2a$, nên $S(0,0,2a)$.

Gọi $M$ là trung điểm của $AB$:

$M = \left(\dfrac{0+a}{2}, \dfrac{0+0}{2}, 0\right) = \left(\dfrac{a}{2},0,0\right)$

Mặt phẳng $(\alpha)$ đi qua $M$ và vuông góc với $AB$ ⇒ phương trình mặt phẳng: $x = a/2$

Thiết diện của mặt phẳng này với hình chóp $S.ABCD$ là tứ giác $PQRS$, trong đó:

- Giao với $SA$: $x = a/2$ ⇒ $P = (a/2,0,z)$, với $z$ chạy từ $0$ đến $2a$ ⇒ cạnh thẳng $PS$ chiều cao $2a$

- Giao với $AB$: $x = a/2$ ⇒ $Q = M = (a/2,0,0)$

- Giao với $BC$ và $CD$ tương ứng:

- $BC: B( a,0,0) \to C(a,2a,0)$, $x=a$ không cắt $x=a/2$ ⇒ không có

- $AD: A(0,0,0) \to D(0,2a,0)$, $x=0$ không cắt $x=a/2$ ⇒ không có

- $SC: S(0,0,2a) \to C(a,2a,0)$, $x$ thay đổi từ $0$ đến $a$ ⇒ cắt $x=a/2$ tại $R = (a/2, ? , ?)$

Tìm giao điểm $R$ trên $SC$:

- Vector $SC = C - S = (a - 0, 2a - 0, 0 - 2a) = (a,2a,-2a)$

- Tham số $t$: $S + t SC = (0,0,2a) + t (a,2a,-2a) = (at, 2a t, 2a -2a t)$

- Yêu cầu $x = a/2 \Rightarrow at = a/2 \Rightarrow t = 1/2$

- Khi đó $y = 2a \cdot 1/2 = a$, $z = 2a - 2a * 1/2 = 2a - a = a$

⇒ $R = (a/2, a, a)$

Thiết diện là tam giác $PSR$:

- $P = (a/2,0,0)$

- $S = (0,0,2a)$, nhưng $S$ không trên mặt phẳng $x = a/2$ ⇒ bỏ

- Giao với $SA$: $x$ từ $0$ đến $0$ ⇒ $x=a/2$ ⇒ $z$ khi $x= a/2$ trên $SA$?

- Vector $SA = A \to S = (0,0,0) \to (0,0,2a)$, $x=0$ không cắt $x=a/2$ ⇒ không

- Giao với $AB$: $M = (a/2,0,0)$

- Giao với $SC$: $R = (a/2,a,a)$

- Giao với $SD$: $S(0,0,2a) \to D(0,2a,0)$, $x=0$ không cắt $x=a/2$ ⇒ không

Vậy thiết diện là **tam giác $M R ?$**. Để tính diện tích, xác định chiều cao:

- Tam giác hai điểm $M(a/2,0,0)$ và $R(a/2,a,a)$, đáy nằm dọc theo $y$ và $z$, cạnh theo $y$ và $z$

- Đáy $MR$ vector: $\vec{MR} = (0,a,a)$

- Chiều dài $|MR| = \sqrt{0^2 + a^2 + a^2} = a\sqrt{2}$

- Chiều cao: $x$ khác nhau? Xác định: $x$ = constant $a/2$ ⇒ tam giác thẳng ⇒ diện tích:

$S = \dfrac{1}{2} \cdot |MR| \cdot x_{\text{chênh}}$?

- Xét đơn giản: tam giác vuông với cạnh $MR = a \sqrt{2}$, chiều cao $x = 0$ ⇒ không

- Vậy diện tích thiết diện: $S = \dfrac{1}{2} \cdot a \sqrt{2} \cdot a = \dfrac{a^2 \sqrt{2}}{2}$