a) Ta có \(\left(C\right):y=\frac{-x+2}{x+1}=-1+\frac{3}{x+1}\)

Dời hệ trục Oxy về hệ trục XIY với công thức dời trục \(\begin{cases}x=X-1\\y=Y-1\end{cases}\)

Ta có phương trình hệ trục tọa độ mới \(Y=\frac{3}{X}\), 

Trong hệ trục tọa độ mới, ta giả sử \(M\left(m;\frac{3}{m}\right);N\left(n;\frac{3}{n}\right);P\left(p;\frac{3}{p}\right)\)

Gọi \(H\left(x;y\right)\) là trực tâm của tam giác MNP, ta có : \(\begin{cases}\overrightarrow{MH}.\overrightarrow{NP}=0\\\overrightarrow{NH}.\overrightarrow{MP}=0\end{cases}\) (a)

Mà \(\overrightarrow{MH}=\left(x-m;y-\frac{3}{m}\right);\overrightarrow{NP}=\left(p-n;\frac{3}{p}-\frac{3}{n}\right);\overrightarrow{NH}=\left(x-n;y-\frac{3}{n}\right);\overrightarrow{MP}=\left(p-m;\frac{3}{p}-\frac{3}{m}\right)\)

Nên (a) \(\Leftrightarrow\begin{cases}x-m-\frac{3}{np}\left(y-\frac{3}{m}\right)=0\\x-n-\frac{3}{mp}\left(y-\frac{3}{n}\right)=0\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\begin{cases}x-\frac{3}{np}y-m+\frac{9}{mnp}=0\\x-\frac{3}{mp}y-n+\frac{9}{mnp}=0\end{cases}\)

             \(\Leftrightarrow\begin{cases}x=-\frac{9}{mnp}\\y=-\frac{mnp}{3}\end{cases}\)

Suy ra \(H\left(-\frac{9}{mnp};-\frac{mnp}{3}\right)\)

Vì \(y_H=\frac{3}{x_H}\) nên \(H\in\left(C\right)\)\(\Rightarrow\) điều phải chứng minh

b) \(B\left(b;\frac{2m-b}{b+m}\right)\in\left(C_m\right)\Rightarrow\overrightarrow{AB}=\left(b;\frac{m-2b}{m+b}\right)\)

Ta có : \(I\left(-m;-1\right)\Rightarrow\overrightarrow{AI}=\left(-m;-2\right)\)

Tam giác ABI vuông cân tại A \(\Leftrightarrow\begin{cases}\overrightarrow{AB.}\overrightarrow{AI}=0\\AB^2=AI^2\end{cases}\)

\(\begin{cases}mb+2\frac{m-2b}{m+b}=0\\m^2+4=b^2+\left(\frac{m-2b}{m+b}\right)^2\end{cases}\)\(\Leftrightarrow\begin{cases}\frac{m-2b}{m+b}=-\frac{bm}{2}\left(1\right)\\m^2+4=b^2+\frac{m^2b^2}{4}\left(2\right)\end{cases}\)

\(\left(2\right)\Leftrightarrow m^2\left(b^2-4\right)+4\left(b^2-4\right)=0\Leftrightarrow\left(b^2-4\right)\left(m^2+4\right)=0\)

     \(\Leftrightarrow b^2=4\Leftrightarrow b=\pm2\)

* b = 2 thay vào (1) ta được \(\frac{m-4}{m+2}=-m\Leftrightarrow m^2+3m-4=0\Leftrightarrow m=1;m=-4\)

*  b = - 2 thay vào (1) ta được \(\frac{m+4}{m-2}=m\Leftrightarrow m^2-3m-4=0\Leftrightarrow m=-1;m=4\)

Vậy \(m=\pm1;m=\pm4\) là những giá trị cần tìm

Hàm số có cực đại, cực tiểu \(\Leftrightarrow f'\left(x\right)=3x^2-6x+m^2=0\) có 2 nghiệm phân biệt

\(\Leftrightarrow\Delta'=9-3m^2>0\Leftrightarrow\left|m\right|<\sqrt{3}\)

Thực hiện phép chia \(f\left(x\right)\) cho \(f'\left(x\right)\) ta có :

\(f\left(x\right)=\frac{1}{3}\left(x-1\right)f'\left(x\right)+\frac{2}{3}\left(m^2-3\right)x+\frac{m}{3}+m\)

Với \(\left|m\right|<\sqrt{3}\) thì phương trình \(f'\left(x\right)=0\) có 2 nghiệm \(x_1,x_2\) và hàm số y=f(x) đạt cực trị tại \(x_1,x_2\)

Ta có \(f'\left(x_1\right)=f'\left(x_2\right)=0\) nên :

\(y_1=f\left(x_1\right)=\frac{2}{3}\left(m^2-3\right)x_1+\frac{m^2}{3}+m\)

\(y_2=f\left(x_2\right)=\frac{2}{3}\left(m^2-3\right)x_2+\frac{m^2}{3}+m\)

=> Đường thẳng đi qua cực đại, cực tiểu là \(\left(d\right):y=\frac{2}{3}\left(m^2-3\right)x+\frac{m^2}{3}+m\)

Các điểm cực trị \(A\left(x_1,y_1\right);B\left(x_2,y_2\right)\) đối xứng nhau qua \(\left(\Delta\right):y=\frac{1}{2}x-\frac{5}{2}\)

\(\Leftrightarrow\left(d\right)\perp\left(\Delta\right)\) tại trung điểm I của AB (*)

Ta có \(x_1=\frac{x_1+x_2}{2}=1\) suy ra từ (*) \(\Leftrightarrow\begin{cases}\frac{2}{3}\left(m^2-3\right)\frac{1}{2}=-1\\\frac{2}{3}\left(m^2-3\right).1+\frac{m^2}{3}+m=\frac{1}{2}.1-\frac{5}{2}\end{cases}\)

                                                        \(\Leftrightarrow\begin{cases}m=0\\m\left(m+1\right)=0\end{cases}\)

                                                        \(\Leftrightarrow m=0\)

Ta có : \(y'=3x^2-6x+m^2\Rightarrow y'=0\Leftrightarrow3x^2-6x+m^2=0\left(1\right)\)

Hàm số có cực trị \(\Leftrightarrow\left(1\right)\) có 2 nghiệm phân biệt \(x_1;x_2\)

                           \(\Leftrightarrow\Delta'=3\left(3-m^2\right)>0\Leftrightarrow-\sqrt{3}< m< \sqrt{3}\)

Phương trình đường thẳng d' đi qua các điểm cực trị là : \(y=\left(\frac{2}{3}m^2-2\right)x+\frac{1}{3}m^2\)

=> Các điểm cực trị là :

\(A\left(x_1;\left(\frac{2}{3}m^2-2\right)x_1+\frac{1}{3}m^2+3m\right);B\left(x_2;\left(\frac{2}{3}m^2-2\right)x_2+\frac{1}{3}m^2+3m\right);\)

Gọi I là giao điểm của hai đường thẳng d và d' :

\(\Rightarrow I\left(\frac{2m^2+6m+15}{15-4m^2};\frac{11m^2+3m-30}{15-4m^2}\right)\)

A và B đối xứng đi qua d thì trước hết \(d\perp d'\Leftrightarrow\frac{2}{3}m^2-2=-2\Leftrightarrow m=0\)

Khi đó \(I\left(1;-2\right);A\left(x_1;-2x_1\right);B\left(x_2;-2x_2\right)\Rightarrow I\) là trung điểm của AB=> A và B đối xứng nhau qua d

Vậy m = 0 là giá trị cần tìm

Đáp án B

a) (C) có 2 tiệm cận xiên là x = -1 và y = x + 1

I là tâm đối xứng \(\Rightarrow I\left(-1;0\right)\) (I là giao của 2 tiệm cận)

Xét \(M\left(x_0;f\left(x_0\right)\right)\in\left(C\right)\). Tiếp tuyến \(\Delta\) tại M của (C) :

\(y=y'\left(x_0\right)\left(x-x_0\right)+y_0=\frac{x_0^2+2x_0}{\left(x_0+1\right)^2}\left(x-x_0\right)+\frac{x^2_0+2x_0+2}{x_0+1}\)

Đáp án C

Tâm đối xứng của đồ thị là giao điểm của hai đường tiệm cận. Vậy điểm cần tìm là M(-1;.3)

\(y'=3x^2-6\left(m+1\right)x+9\)

Để hàm số có cực đại và cực tiểu :

\(\Delta'=9\left(m+1\right)^2-3.9>0\Leftrightarrow m\in\left(-\infty;-1-\sqrt{3}\right)\cup\left(-1+\sqrt{3};+\infty\right)\)

Ta có \(y=\left(\frac{1}{3}x-\frac{m+1}{3}\right)\left(3x^2-6\left(m+1\right)x+9\right)-2\left(m^2+2m-2\right)x+4m+1\)

vậy đường thẳng đi qua 2 điểm cực đại và cực tiểu là \(y=-2\left(m^2+2m-2\right)x+4m+1\)

Vì 2 điểm cực đại và cực tiểu đối xứng qua đường thẳng \(y=\frac{1}{2}x\), ta có điêu kiện cần là 

\(\left[-2\left(m^2+2m-2\right)\right]\frac{1}{2}=-1\Leftrightarrow m^2+2m-3=0\)

\(\Leftrightarrow\begin{cases}m=1\\m=-3\end{cases}\)

Khi m=1 phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực đại và cực tiểu là y=-2x+5. Tọa độ trung điểm cực đại và cực tiểu là 

\(\begin{cases}\frac{x_1+x_2}{2}=\frac{4}{2}=2\\\frac{y_1+y_2}{2}=\frac{-2\left(x_1+x_2\right)+10}{2}=1\end{cases}\)

Tọa độ trung điểm cực đại và cực tiể là (2;1) thuộc đường thẳng \(y=\frac{1}{2}x\)=> m=1

Khi m=-3 suy ra phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực đại và cực tiểu là y=-2-11

=> m=-3 không thỏa mãn

Vậy m=1 thỏa mãn điều kiện đề bài

Gọi \(M\left(x_0;y_0\right);y_0=\frac{2x_0-1}{x_0-1}\)

Phương trình tiếp tuyến \(\Delta\) của (C) tại M là :

\(y=\frac{-1}{\left(x_0-1\right)^2}\left(x-x_0+\frac{2x_0-1}{x_0-1}\right)\)

\(\Delta\) cắt tiệm cận đứng x = 1 tại A có tọa độ là nghiệm của hệ

\(\begin{cases}x=1\\y=\frac{-1}{\left(x_0-1\right)^2}\left(x-x_0+\frac{2x_0-1}{x_0-1}\right)\end{cases}\)

Do đó \(A\left(1;\frac{2x_0}{x_0-1}\right)\)