Ta có : \(\hept{\begin{cases}\frac{a}{2}=\frac{b}{3}\\\frac{b}{4}=\frac{c}{5}\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}\frac{a}{8}=\frac{b}{12}\\\frac{b}{12}=\frac{c}{15}\end{cases}\Rightarrow}\frac{a}{8}=\frac{b}{12}=\frac{c}{15}=\frac{a+b-c}{8+12-15}=\frac{10}{5}=2}\)(dãy tỉ số bằng nhau)

=> \(\hept{\begin{cases}a=16\\b=24\\c=30\end{cases}}\)

Ta có : \(\frac{a}{2}=\frac{b}{3}\Rightarrow\frac{a}{8}=\frac{b}{12}\) và \(\frac{b}{4}=\frac{c}{5}\Rightarrow\frac{b}{12}=\frac{c}{15}\Rightarrow\frac{a}{8}=\frac{b}{12}=\frac{c}{15}\)

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có : \(\frac{a}{8}=\frac{b}{12}=\frac{c}{15}=\frac{a+b-c}{8+12-15}=\frac{10}{5}=2\)

\(\Rightarrow a=2.8=16\)         \(b=12.2=24\)         \(c=15.2=30\)

Vậy \(a=16;b=24;c=30\)

b: Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:

\(\dfrac{x}{5}=\dfrac{y}{4}=\dfrac{z}{3}=\dfrac{x+y-z}{5+4-3}=\dfrac{18}{6}=3\)

Do đó: x=15; y=12; z=9

c: Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:

\(\dfrac{a}{5}=\dfrac{b}{4}=\dfrac{c}{7}=\dfrac{a+2b+c}{5+2\cdot4+7}=\dfrac{10}{20}=\dfrac{1}{2}\)

Do đó: a=5/2; b=2; c=7/2

e: Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:

\(\dfrac{a}{4}=\dfrac{b}{5}=\dfrac{c}{2}=\dfrac{a+b}{4+5}=\dfrac{10}{9}\)

Do đó: a=40/9; b=50/9; c=20/9

f: Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:

\(\dfrac{a}{2}=\dfrac{b}{3}=\dfrac{c}{4}=\dfrac{2a+b-c}{2\cdot2+3-4}=\dfrac{-12}{3}=-4\)

Do đó: a=-8; b=-12; c=-16

1)

\(\Leftrightarrow\frac{x}{8}=\frac{y}{12}=\frac{z}{15}\)

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có :

\(\frac{x}{8}=\frac{y}{12}=\frac{z}{15}=\frac{x+y-z}{8+12-15}=\frac{10}{5}=2\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\frac{x}{8}=2\Rightarrow x=16\\\frac{y}{12}=2\Rightarrow x=24\\\frac{z}{15}=2\Rightarrow z=30\end{matrix}\right.\)

2)

Đặt \(\frac{x}{2}=\frac{y}{5}=k\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=2k\\y=5k\end{matrix}\right.\)

xy=10 <=> 2k.5k=10

<=>10k²=10

<=> k=1

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=2\\y=5\end{matrix}\right.\)

3)

\(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\Leftrightarrow ad=bc\)

\(\Leftrightarrow\frac{a}{c}=\frac{b}{d}\)

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

\(\frac{a}{c}=\frac{b}{d}=\frac{a+b}{c+d}=\frac{a-b}{c-d}\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(c-d\right)=\left(c+d\right)\left(a-b\right)\)

\(\Leftrightarrow\frac{a+b}{a-b}=\frac{c+d}{c-d}\) (đpcm)

a) đặt \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=k\) => \(a=bk;c=dk\) thay vào hai vế

VT=\(\frac{5bk+3b}{5bk-3b}=\frac{b\left(5k+3\right)}{b\left(5k-3\right)}=\frac{5k+3}{5k-3}\) (1)

thay c=dk vào VP

\(VP=\frac{5dk+3d}{5dk-3d}=\frac{d\left(5k+3\right)}{d\left(5k-3\right)}=\frac{5k+3}{5k-3}\left(2\right)\)

từ(1)(2)=> VT=VP(dpcm)

b) làm tương tự thay a=bk

\(VT=\frac{7\left(bk\right)^2+3\left(bk\right)b}{11\left(bk\right)^2-8b^2}=\frac{7b^2k^2+3b^2k}{11b^2k^2-8b^2}=\frac{b^2\left(7k^2+3k\right)}{b^2\left(11k^2-8\right)}=\frac{7k^2+3k}{11k^2-8}\) (3)

thay c=dk vào VP

\(VP=\frac{7\left(dk\right)^2+3\left(dk\right)d}{11\left(dk\right)^2-8d^2}=\frac{7d^2k^2+3d^2k}{11d^2k^2-8d^2}=\frac{d^2\left(7k^2+3k\right)}{d^2\left(11k^2-8\right)}=\frac{7k^2+3k}{11k^2-8}\) (4)

từ (3)(4)=> VT=VP

bài 2:

\(\frac{3x}{8}=\frac{3y}{64}=\frac{3z}{216}\)

=> \(\frac{x}{8}=\frac{y}{64}=\frac{z}{216}=k\)

=> \(x=8k;y=64k;z=216k\)

thay vào điều kiện

\(\Rightarrow2\left(8k\right)^2+2\left(64k\right)^2+\left(216k\right)^2=1\)

\(2\cdot64k^2+2\cdot4096k^2+46656k^2=1\)

\(128k^2+8192k^2+46656k^2=1\)

\(54976k^2=1\)

\(k=\pm\frac{1}{234}\)

TH1: \(k=\frac{1}{234}\)

=> \(x=8\cdot\frac{1}{234}=\frac{4}{117}\)

\(y=64\cdot\frac{1}{234}=\frac{32}{117}\)

\(z=216\cdot\frac{1}{234}=\frac{12}{13}\)

TH2: \(k=-\frac{1}{234}\)

=> \(x=-\frac{4}{117}\)

\(y=-\frac{32}{117}\)

\(z=-\frac{12}{13}\)

bài 3:

ta có: \(\frac{\left(2x+1\right)}{5}=\frac{\left(4y-5\right)}{9}=\frac{\left(2x+4y-4\right)}{14}\) ( tính chất dãy tỉ số bằng nhau)

CM: \(\frac{\left(2x+4y-4\right)}{14}=\frac{\left(2x+4y-4\right)}{7x}\)

TH1: 2x+4y-4=0

=> 2x+1=0

=>x=\(\frac{-1}{2}\) thay vào biểu thức cầm CM trên

=> \(2\left(-\frac12\right)+4y-4=0\)

=> \(y=\frac54\left(TM\right)\)

TH2: 7x=14

=>x=2

thay vào phân số đầu tiên

\(\frac{2\cdot2+1}{5}=\frac55=1\)

=> \(\frac{4y-5}{9}=1\)

=>\(y=\frac72\)

bài 4:

=> \(\left(\frac{a}{a^{,}}+\frac{b^{,}}{b}\right)\cdot\frac{b}{b^{,}}=1\cdot\frac{b}{b^{,}}\)

=> \(\frac{a\cdot b}{a^{,}\cdot b^{^{,}}}+\frac{b^{,}\cdot b}{b\cdot b^{,}}=\frac{b}{b^{,}}\)

=> \(\frac{ab}{a^{,}b^{,}}+1=\frac{b}{b^{,}}\left(5\right)\)

ta có: \(\frac{b}{b^{,}}+\frac{c^{,}}{c}=1\Rightarrow\frac{b}{b^{,}}=1-\frac{c^{,}}{c}\left(6\right)\)

thay (6) vào (5)

=> \(\frac{ab}{a^{,}b^{,}}+1=1-\frac{c^{,}}{c}\)

=> \(\frac{ab}{a^{,}b^{,}}=-\frac{c^{,}}{c}\)

=> abc=\(-a^{,}b^{,}c^{,}\)

=> \(abc+a^{,}b^{,}c^{,}=0\left(đpcm\right)\)