Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Có hình vẽ : A B C D H K o
Dễ thấy SABCD = \(\frac{1}{2}\left(AH+CK\right).BD\)
mà lại có \(AH=AO.sin\alpha\) ; \(CK=OC.sin\alpha\)
=> SABCD = \(\frac{1}{2}\sin\alpha.AC.BD\)
Khi 2 đường chéo vuông góc với nhau thì
\(H\equiv O\equiv K\Rightarrow AH=AO=CK\)
hay \(sin\alpha=1\)
Khi đó \(S_{ABCD}=\frac{1}{2}mn\)(đpcm)
Làm như sau :
Kẻ AH vg BD ; CK vg BD
Sabd = 1/2.AH.BD (1)
Sbcd = 1/2.CK.BD (2)
từ (1) và (2) => Sabcd= Sabd + Sbcd = 1/2BD ( AH+CK) (*)
Tam giác AHO vuông tại H , theo tỉ số lượng giác giữa cạnh và góc
=> AH = OA . sin AOH (3)
Tương tự CK = OC.sin BOC (4)
Mà BOC = AOH => sin BOC = sin AOH (5)
Từ (3) và (4) và (5) => AH + CK = sin AOH ( OA + OC ) = AC .sin AOH (**)
Từ (*) và (**) => cái cần phải CM
Gọi O là giao điểm của AC và BD
=>\(\sin AOB=\sin AOD=\sin BOC=\sin COD\left(\sin AOB=\sin\left(180^0-AOB\right)=\sin AOD\right)\)
Diện tích tam giác OAB là:
\(S_{OAB}=\frac12\cdot OA\cdot OB\cdot\sin AOB\)
Diện tích tam giác OBC là:
\(S_{OBC}=\frac12\cdot OB\cdot OC\cdot\sin BOC=\frac12\cdot OB\cdot OC\cdot\sin AOB\)
Diện tích tam giác OCD là:
\(S_{OCD}=\frac12\cdot OC\cdot OD\cdot\sin COD=\frac12\cdot OC\cdot OD\cdot\sin AOB\)
Diện tích tam giác OAD là:
\(S_{OAD}=\frac12\cdot OA\cdot OD\cdot\sin AOD=\frac12\cdot OA\cdot OD\cdot\sin AOB\)
Diện tích tứ giác ABCD là:
\(S_{ABCD}=S_{OAB}+S_{OBC}+S_{OCD}+S_{ODA}\)
\(=\frac12\cdot OA\cdot OB\cdot\sin AOB+\frac12\cdot OB\cdot OC\cdot\sin AOB+\frac12\cdot OC\cdot OD\cdot\sin AOB+\frac12\cdot OD\cdot OA\cdot\sin AOB\)
\(=\frac12\cdot OB\cdot\sin AOB\left(OA+OC\right)+\frac12\cdot OD\cdot\sin AOB\left(OA+OC\right)\)
\(=\frac12\cdot AC\cdot\sin AOB\left(OB+OD\right)=\frac12\cdot AC\cdot BD\cdot\sin AOB\)